Gram-Schmidt Trudny

[movis92]

Witam

Nie mogę sobie poradzić z poniższym zadaniem, bardzo proszę o pomoc:

Układ \(\displaystyle{ v_1=\begin{bmatrix} 1&1&1&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ v_2 = \begin{bmatrix} 0&3&1&0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ v_3= \begin{bmatrix} -1&1&1&0\end{bmatrix}}\)
a.) Przeprowadzić metodą Grama-Schmidta na układ ortogonalny (nie normować!)
b.) Wyznaczyć wektor o długości \(\displaystyle{ 1}\) ortogonalny do przestrzeni \(\displaystyle{ V = lin[v_1,v_2,v_3]. R^{4}}\). Ile jest takich wektorów?.
c.) Wektor \(\displaystyle{ w = [-2,4,-2,4]}\) rozłożyć na sumę wektora z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i wektora ortogonalnego do \(\displaystyle{ V}\).

O ile sam proces ortogonalizacja nie sprawia mi problemu, o tyle nie wiem jak się mam zabrać za podpunkty b i c.

a.)

\(\displaystyle{ u_1=v_1=[1,1,1,1]}\)
\(\displaystyle{ u_2=v_2-\frac{v_2 \cdot v_1}{v_1 \cdot v_1}v_1=[0,3,1,0]-\frac{4}{4} \cdot [1,1,1,1]=[-1,2,0,-1]}\)
\(\displaystyle{ u_3=v_3-\frac{v_3 \cdot v_1}{v_1 \cdot v_1} \cdot v_1-\frac{v_3 \cdot v_2}{v_2 \cdot v_2} \cdot v_2=[-1,1,1,0]-\frac{1}{4}[1,1,1,1]-\frac{4}{10} \cdot [0,3,1,0]=[-1,1,1,0]+ \left[ -\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4} \right] + \left[ 0,-\frac{12}{10},-\frac{14}{10},0 \right] =
= \left[ -\frac{5}{4},-\frac{9}{10},\frac{7}{20},-\frac{5}{20} \right] =\frac{1}{20}[-25,-9,7,-5]}\)

a więc nasze nasze \(\displaystyle{ V = lin{[1,1,1,1],[-1,2,0,-1], \frac{1}{20}[-25,-9,7,-5]}}\)

Niestety nie wiem, jak się zabrać za podpunkty b,c, bardzo proszę o pomoc

[liu]

Edycja: w tym co napisałem niżej wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) są tą bazą prostopadłą, a nie, jak wyżej, wektory \(\displaystyle{ u_i}\). Mam nadzieję, że nie bedzię to prowadzić do nieporozumień.

b) wystarczy znaleźć dowolny niezerowy wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), który nie siedzi w \(\displaystyle{ V}\), przecież \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4 = V \oplus V^{\perp}}\). Wynika stąd w szczególności, że \(\displaystyle{ \dim V^{\perp} = 4 - \dim V}\), zatem skoro rozważana przestrzeń jest trójwymiarowa, to podprzestrzeń prostopadła jest jednowymiarowa. Ile jest wektorów o normie 1 w jednowymiarowej podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej?

c) Skoro mamy bazę prostopadłą w V, to współrzędne rzutu prostopadłego na V wyrażają się prostym do wyprowadzenia wzorem: rzut prostopadły wektora \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ V}\) to z definicji taki wektor \(\displaystyle{ w\in V}\), że \(\displaystyle{ v = w + w'}\), \(\displaystyle{ w' \in V^{\perp}}\). Skoro wyznaczyliśmy już bazę prostopadłą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to pisząc
\(\displaystyle{ v = w_1 v_1 + w_2 v_2 + w_3 v_3 + w'}\)
i biorąc iloczyn skalarny z wektorem \(\displaystyle{ v_1}\) dostajemy wzór:
\(\displaystyle{ (v|v_1) = w_1 (v_1|v_1) + w_2(v_2|v_1) + w_3 (v_3|v_1) + (w'|v_1)}\)
Ponieważ układ \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) jest prostopadły, a \(\displaystyle{ w' \in V^{\perp}}\), to wszystkie składniki po prawej stronie poza pierwszym znikają i dostajemy
\(\displaystyle{ w_1 = (v|v_1)/(v_1|v_1).}\)
Analogicznie wyprowadza się wzory na pozostałe współrzędne.

Zatem nasz wektor rozkłada się na rzut prostopadły \(\displaystyle{ w = w_1v_1 + w_2v_2 + w_3v_3}\) wyznaczony wcześniej i wektor \(\displaystyle{ v-w}\) z podprzestrzeni prostopadłej.

A tak naprawdę to to co wyżej jest w każdym podręczniku algebry liniowej.

[movis92]

Serdecznie dziękuję za odpowiedź

b.) Czyli po prostu muszę znaleźć jakiś dowolny wektor o długości 1 np \(\displaystyle{ v4 = [1,0,0,0]}\), i przeprowadzić jego ortogonalizacje

\(\displaystyle{ V4=v4-\frac{v4*u1}{u1*u1}*u1-\frac{v4*u2}{u2*u2}*u2-\frac{v4*u3}{u3*u3}*u3}\)

c.) Nie do końca jednak rozumiem Pana zapis \(\displaystyle{ w_1 = (v|v_1)/(v_1|v_1)}\)

w podpunkcie c mamy podany wektor \(\displaystyle{ w = [-2,4,-2,4]}\)

i teraz co jest V w moim przypadku, bo tak do końca po prostu nie wiem co mam podstawić. i co oznacza w zapisanie symbol |