Przestrzeń i podprzestrzeń

[movis92]

Witam

Chciałbym prosić o pomoc, ponieważ sam nie mogę zrozumieć, jak powinienem poprawnie zrobić poniższe zadanie:
Dane są wektory: \(\displaystyle{ v_1= \begin{bmatrix} 1&2&1&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ v_2=\begin{bmatrix} 1&-1&-2&1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ v_3=\begin{bmatrix} 1&1&0&1\end{bmatrix}}\) i przestrzeń \(\displaystyle{ W =\left\{ [x_1,x_2,x_3,x_4] | 2x_1+x_2-x_3-3x_4=0 \right\}}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R^4}\)
a.) Wykazać, że \(\displaystyle{ V=lin{v_1,v_2,v_3}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ W}\)
b.) Podać podzbiór zbioru \(\displaystyle{ {v_1,v_2,v_3}}\), który jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i uzupełnić ten podzbiór do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ W}\)
c.) Podać \(\displaystyle{ \dim V}\) i \(\displaystyle{ \dim W}\)
d.)Skonstruowaną bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\).

Na początku sprawdzam liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ v_1-v_3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\2&-1&1\\1&-2&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\) wychodzi nam ładnie po przekształceniach \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&-3&-1\end{bmatrix}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x_3=t}\)
\(\displaystyle{ x_2=-\frac{1}{3} \cdot t}\)

\(\displaystyle{ x_1=-\frac{2}{3} \cdot t}\)

czyli \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \cdot t \begin{bmatrix} 2\\1\\-3\end{bmatrix}}\)

z czterech wektorów \(\displaystyle{ 2}\) są tylko liniowo niezależne, więc \(\displaystyle{ \dim V = 2}\)

teraz sprawdzamy liniową niezależność przestrzeni W
\(\displaystyle{ 2x_1+x_2-x_3-3x_4=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&-3\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x_4=t}\)
\(\displaystyle{ x_3=s}\)
\(\displaystyle{ x_2=r}\)
\(\displaystyle{ x_1=-\frac{1}{2} \cdot r+\frac{1}{2} \cdot s+\frac{3}{2} \cdot t}\)

\(\displaystyle{ \dim W = 3}\)

Policzyłem tylko podpunkt C. Dobrze?

Bardzo proszę o pomoc w pozostałych podpunktach.

[robertm19]

Które to wyszły liniowo niezależne? Rozważ ich kombinacje liniową np. \(\displaystyle{ \alpha v_1+\beta v_2=[\alpha+\beta,2\alpha-\beta,\alpha-2\beta,\alpha+\beta]}\). To jest przedstawienie dowolnego wektora z \(\displaystyle{ V}\). Jeżeli teraz pokażemy, że spełnia on równanie \(\displaystyle{ 2x_1+x_2-x_3-3x_4=0}\) to będzie oznaczać, że dowolny wektor z V należy do W, więc \(\displaystyle{ V \subset W}\).

[movis92]

Na początku dziękuje za wskazówkę.

Nie wiem, czy dobrze zrozumiałem, ale wydaje mi się, że powinienem utworzyć macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2x_1\\2&-1&x_2\\1&-2&-x_3\\1&1&-3x_4\end{array}\right]}\)

upraszczamy i na końcu wygląda tak

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2x1\\0&-3&x2-4x_1\\0&0&-x_2-x3+2x_1\\0&0&-3x_4-2x_1\end{array}\right]}\)

w dwóch ostatnich wierszach gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b = 0}\) przyrównujemy je do siebie

\(\displaystyle{ -x_2-x_3+2x_1=-3x_4-2x_1}\)

wychodzi nam
\(\displaystyle{ -x_2-x_3+3x_4=0}\)

Czyli wyszło nam inne równanie, więc \(\displaystyle{ V}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ W}\)?