Przestrzeń liniowa

[artur5236]

Witam, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Dane są wektory: \(\displaystyle{ v_{1}=[1, 2, 1, 1], v_{2} = [1, -1, -2, 1], v_{3} = [1, 1, 0, 1]}\) i przestrzeń \(\displaystyle{ W = \{[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] | 2x_{1} + x_{2} -x_{3} - 3x_{4}=0\}}\)

Wykazać, że \(\displaystyle{ V = \mbox{lin} \{ v_{1}, v_{2}, v_{3} \}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).

Podać podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\}}\), który jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i uzupełnić ten podzbiór do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).

Podać \(\displaystyle{ \dim V}\) i \(\displaystyle{ \dim W}\).

Skonstruowaną bazę przestrzeni \(\displaystyle{ W}\) uzupełnić do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\).

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[liu]

Pierwsza część zadania: wystarczy wykazać, że wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) znajdują się w przestrzeni \(\displaystyle{ W}\), zatem ich powłoka liniowa będzie się tam zawierać.

[artur5236]

Tak, pierwszy punkt zrobiłem, ale nie wiem jak się zabrać za dalszą cześć.