równanie z parameterem

[miketyson]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&-1&2&-4\\2&1&1&-1\\4&1&a&-2\end{array}\right]}\) gdzie pierwsze trzy liczby x,y,z.

Zamieniam kolumny x i y miejscami, oraz wiersze nr 1 i 3.



\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&4&a&-2\\1&2&1&-1\\-1&2&2&-4\end{array}\right]}\) czyli kolumny y,x,z.

Teraz zeruje drugą kolumne (mnożąc pierwszy wiersz przez -1 i dodajac, oraz 3 wiersz mnożac przez 1)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&4&a&-2\\0&-2&(-a+1)&1\\0&6&(a+2)&-6\end{array}\right]}\)

teraz zamieniam miejscami wiersze 2 i 3, a następnie zeruje 3 wiersz (dodając wiersz 4 do 2 mnożac 4 przez 2)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&a&-2\\0&-6&(a+2)&-6\\0&0&(-a+1)&1\end{array}\right]}\)


No i teraz założenia..

Dla a różnego od 1 ostatni wiersz zeruje sie i mamy tylko 2 pierwsze wiersze:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&a&-2\\0&-6&3&-6\end{array}\right]}\) kolejność oczywiście y,x,z

no to teraz za niewiadomą z podstawiam sobie parametr alfa( "z" przyjmuje wszystkie wartości)

czyli: \(\displaystyle{ x= 1+ \frac{1}{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=-2+ \alpha}\)

W tym momencie stanąłem żeby sprawdzić wynik w wolfram alpha i okazało sie że założenia to "a" różne od 2/5. Gdzie jest błąd? Chyba z 5 razy sprawdzałem i nie mogę dojść

[Kartezjusz]

A co właściwie masz policzyć?

[miketyson]

rozwiązać równanie, a to parametr

[Gouranga]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & -4\\
2 & 1 & 1 & -1\\
4 & 1 & a & -2\end{array}\right] \stackrel{w_2 - w_1}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & -4\\
0 & 2 & -1 & 3\\
4 & 1 & a & -2\end{array}\right] \stackrel{w_3 - 2w_1}{=}\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & -4\\
0 & 2 & -1 & 3\\
0 & 3 & a-4 & 2\end{array}\right] \stackrel{w_2\cdot 3, w_3 \cdot 2}{=}\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & -4\\
0 & 6 & -3 & 9\\
0 & 6 & 2a-8 & 4\end{array}\right] \stackrel{w_3 - w_2}{=}\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & -4\\
0 & 6 & -3 & 9\\
0 & 0 & 2a-5 & -5\end{array}\right]\\
\\
(2a-5)z = -5\\
\\
z=\frac{-5}{2a-5} = \frac{5}{5-2a}\\
\\
6y -3\cdot \frac{5}{5-2a} = 9\\
6y -\frac{15}{5-2a} = 9\\
6y = 9 + \frac{15}{5-2a}\\
6y =\frac{18a-60}{2a-5}\\
y = \frac{3a - 10}{2a-5}\\
\\
2x - \frac{3a-10}{2a-5} - \frac{10}{2a-5} = -4\\
2x + \frac{-3a +10 -10}{2a-5} = -4\\
2x -\frac{3a}{2a-5} = -4\\
2x = \frac{3a}{2a-5} - 4\\
2x = \frac{20-5a}{2a-5}\\
x = \frac{20-5a}{4a-10}\\
\\
\text{Rozwiązanie:} \begin{cases}
x = \frac{20-5a}{4a-10}\\
y = \frac{3a - 10}{2a-5}\\
z = \frac{5}{5-2a}\end{cases}}\)

[miketyson]

A dlaczego mi wyszedł inny wynik? (wiem że dobrze zrobiłeś) Przez to że zamieniłem kolumny/wiersze miejscami? Chyba nie powinno mieć to znaczenia

[Gouranga]

robisz za dużo operacji na raz, rób tak jak ja, krok po kroku metodycznie zmieniaj tę macierz i po każdej operacji zapisuj jej obecną postać to się nie pogubisz i spróbuj zrobić to samo co robiłeś ale po kolei, sam zobaczysz gdzie masz błąd