Baza kanoniczna (standardowa)

[rkaminski]

Witam,

W wielu miejscach bazę kanoniczną definiuje się jako np. zbiór wektorów o współrzędnych:

\(\displaystyle{ e_i = (0,...,1,...,0)}\)

gdzie 1 jest na i-tym miejscu. Przyznam, że wydaje mi się, że przy takiej definicji każda baza jest bazą kanoniczną. Bo przecież w danej bazie wektory tej bazy mają składowe jednostkowe... Jeśli narzucimy warunek, że są to wektory jednostkowe (to potrzeba zdefiniować metrykę i iloczyn skalarny) i ortogonalne to ma to jakiś większy sens, ale wtedy i tak można dokonać dowolnej transformacji, która np. tylko taki układ obróci. Mamy więc znowu nieskończenie wiele baz kanonicznych...

Kostrykin natomiast pisze, że jeśli forma kwadratowa ma w jakiejś bazie postać diagonalną to taką właśnie bazę nazywamy bazą kanoniczną. Jak połączyć to z poprzednim paragrafem?

Dziękuję z góry za dokładne wyjaśnienie tematu.

Radek

[Marcinek665]

Weźmy bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\):

\(\displaystyle{ (1,1,1)}\), \(\displaystyle{ (1,1,0)}\), \(\displaystyle{ (1,0,0)}\)

Dlaczego ona według Ciebie jest bazą kanoniczną?

[rkaminski]

Tego nigdy nie napisałem i nigdy nie twierdziłem, że baza kanoniczna tak wygląda. Zgodnie z tym co napisałem na początku to np. w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) bazą będą wektory:

\(\displaystyle{ e_1 = (1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ e_2 = (0,1,0)}\)
\(\displaystyle{ e_3 = (0,0,1)}\)

[Marcinek665]

Napisałeś, że według Ciebie każda baza jest bazą kanoniczną. Rzeczywiście, te wektory, które podałeś, są bazą standardową, ale jest to jedyna baza standardowa. Nie rozumiem na razie problemu, o którym piszesz. Spróbujesz jakoś rozjaśnić?

Co do Kostrykina to trzeba mieć oczy szeroko otwarte, bo często on tam wprowadza jakieś oznaczenia, definicje i nazwy, które nie spotkałem nigdzie poza tą książką. Ale jeśli pominąć to, że słownictwo jest strasznie nietypowe, to jest to chyba najlepsza książka.

[rkaminski]

Chodzi mi o to, że każda baza rozpisana "w samej siebie" będzie miała taką postać jak napisałem. Chyba, że jest w tym jakaś sprzeczność. Natomiast to co np. podałeś to to jest jakaś baza rozpisana we współrzędnej innej bazy. Jak zatem stwierdzić co to jest baza kanoniczna? Czy jest ona jakoś wyjątkowo wyróżniona poza tym, że ma być ortonormalna?

[Marcinek665]

Rzeczywiście, baza jakakolwiek rozpisana w sobie samej będzie tej postaci, ale ona ma być rozpisana w tej jedynej, \(\displaystyle{ (0,0,...,1,...,0)}\). I jeśli ma taką postać, to jest standardowa.

[AiDi]

Chodzi mi o to, że każda baza rozpisana "w samej siebie" będzie miała taką postać jak napisałem.

Ale rozpisując bazę względem siebie samej otrzymujesz współrzędne, które kolejno są jedynkami. A współrzędne to nie to samo co baza, inaczej się transformują. Jak masz bazę np. \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,1)}\), to rozpisując ten pierwszy wektor w tej bazie otrzymujesz współrzędne \(\displaystyle{ (1,0)}\).