Wyznacznikowa postać różnych wzorów z geometrii analitycznej

[Christofanow]

Cześć!

Przeglądając książkę Geometria analityczna w zadaniach Kącki, Sadowska, Siewierski natrafiłem na kilka wzorów zapisanych w łatwej do zapamiętania postaci wyznaczników. M.in. na pole powierzchni trójkąta gdy znamy współrzędne jego wierzchołków, równanie okręgu mając dane trzy punkty przez które przechodzi, czy też równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty. Zapis wyznacznikowy jest dla mnie (i pewnie nie tylko dla mnie) dużo łatwiejszy do zapamiętania.

Czy znacie inne wzory (nie koniecznie z geometrii analitycznej), które można zapisać jako wyznaczniki? Podzielcie się, będę wdzięczny. Jutro mogę wrzucić wzory w postaci wyznaczników, kŧóre powyżej wymieniłem.

Pozdrawiam i dziękuje za pomoc

[bartek118]

Iloczyn wektorowy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) wektorów \(\displaystyle{ \mathsf{a}=(a_1,a_2,a_3)}\) i \(\displaystyle{ \mathsf{b}=(b_1,b_2,b_3)}\) wyraża się wzorem wyznacznikowym:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}e_1&e_2&e_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|}\),

gdzie \(\displaystyle{ (e_1,e_2,e_3)}\) jest bazą standardową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).

[yorgin]

Iloczyn mieszany trzech wektorów to po prostu wyznacznik macierzy, której kolumnami są kolejne wektory.

Ja bardzo lubię wzorek na rotację

\(\displaystyle{ \mbox{rot}F=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ \pfrac{}{x} & \pfrac{}{y} & \pfrac{}{z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array}\right|}\)

[Christofanow]

Pole powierzchni trójkąta od wierzchołkach \(\displaystyle{ M_1(x_1, x_1), ...}\)
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} mod \begin{vmatrix}
x_1&y_1&1 \\ x_2&y_2&1 \\x_3&y_3&1
\end{vmatrix}}\)
Warunek konieczny aby trzy proste w postaci ogólnej przecinały się w jednym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
A_1&B_1&C_1 \\
A_2&B_2&C_2 \\
A_3&B_3&C_3
\end{vmatrix} = 0}\)
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty \(\displaystyle{ M_1(x_1, y_1), M_2(x_2, y_2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
x&y&1 \\x_1&y_1&1 \\x_2&y_2&1
\end{vmatrix} = 0}\)
Równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty \(\displaystyle{ M_1(x_1, y_1), M_2(x_2, y_2), M_3(x_3, y_3)}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 + y_3^2 & x_3 &y_3 &1
\end{vmatrix} = 0}\)
Objętość czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ M_1(x_1, y_1, z_1), M_2, M_3, M_4}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{6} mod
\begin{vmatrix}
x_1& y_1& z_1& 1 \\ x_2&y_2&z_2&1 \\
x_3&y_3&z_3&1 \\ x_4&y_4&z_4&1
\end{vmatrix}}\)
Warunek aby cztery punkty leżały na jednej płaszczyźnie:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
x_1& y_1& z_1& 1 \\ x_2&y_2&z_2&1 \\
x_3&y_3&z_3&1 \\ x_4&y_4&z_4&1
\end{vmatrix} = 0}\)
Warunek konieczny i dostateczny aby dwie proste leżały na jednej płaszczyźnie:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
x_1-x_2 & y_1 - y_2 & z_1-z_2 \\
a_1&b_1&c_1 \\ a_2&b_2&c_2
\end{vmatrix} = 0}\)
Proszę o więcej .