Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych

[cezarg1410]

\(\displaystyle{ P^{-1} \cdot J = \begin{bmatrix} -\frac{32}{3} & -\frac{80}{3} & -\frac{2}{3} \\32&80&1\\ -\frac{64}{3} & -\frac{64}{3} & -\frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)
oraz to przemnożone przez macierz \(\displaystyle{ P}\) daje:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{250}{3} & -22 & -\frac{80}{3} \\253&65&80\\ -\frac{308}{3} & -44 & -\frac{64}{3} \end{bmatrix}}\)

czyli totalny kosmos. jestem chyba na to za głupi

[yorgin]

Wcześniej nie miałem czasu tego sprawdzić, ale...

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)

No tutaj jedno drugiemu przeczy. Dwie ostatnie kolumny macierzy \(\displaystyle{ P}\) odpowiadają wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda =-2}\), która to w takim układzie powinna okupować miejsca w dwóch ostatnich kolumnach macierzy \(\displaystyle{ J}\), a tak nie jest. Taka samowolka właśnie prowadzi do kłopotów i braku sensowności obliczeń.

[cezarg1410]

no jasne... mój błąd.
jeszcze jedno pytanie: jeśli mam w zadaniu znaleźć bazę w której macierz przekształcenia ma macierz w postaci kanonicznej jordana to mam po prostu znaleźć wektory własne tej macierzy przekształcenia czy tak>

[Kartezjusz]

Tak, jak najbardziej.

[cezarg1410]

jeszcze dopytam, bo trochę jest coś dla mnie nie jasne: przy potęgowaniu macierzy np do setnej potęgi mnożę: \(\displaystyle{ P \cdot J ^{100} \cdot P^{-1}}\) gdzie P to macierz wektorów własnych, a J to macierz diagonalna (czyli same wartości własne bez tych "jedynek" tak??
bo według słow kolegi yorgin powinienem: \(\displaystyle{ P^{-1} \cdot Jk ^{100} \cdot P}\) gdzie Jk to macierz w postaci kanonicznej Jordana (czyli z tymi "jedynkami" nad przekątną).
która forma jest poprawna? bo już mam mini mętlik w głowie

[yorgin]

Ja napiszę tak: Jeżeli tylko jakaś macierz jest postaci \(\displaystyle{ A=P^{-1}JP}\), gdzie \(\displaystyle{ J}\) to macierz Jordana (ale może być również jakąkolwiek inną macierzą!), to \(\displaystyle{ A^n=P^{-1}J^nP}\), co wręcz banalnie indukcyjnie możesz wykazać.

[cezarg1410]

okej chyba rozumiem już wszystko po prostu zastanawiało mnie to z tego względu że masa zadań (na pewno takie będę miał na egzaminie) jest typu: wyznacz \(\displaystyle{ A ^{100}}\). wtedy jeśli mamy w macierzy jordana jedynki nad przekątną to potęgowanie staje się... uciążliwe