Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Dana jest macierz: \(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}5&0&-6\\-2&2&4\\3&0&-4\end{array}\right]}\)
Pytania: czy macierz jest diagonalizowalna?
Wyznaczyć: \(\displaystyle{ f(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= x^{5} - 3x^{4} + 4x^{2} +5x -6}\)
Robię tak:
wartości własne wchodzą : \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 (2-krotny), \lambda_{2}= (-1) (1-krotny).}\)
rząd macierzy \(\displaystyle{ A-\lambda_{1}\cdot I = 1}\)
wobec tego stwierdzam że macierz nie jest diagonalizowalna tak?
jak zabrać się za drugą część zadania?
wyliczam 2 wektory własne:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\0\\1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3\\-2\\3\end{array}\right]}\)
nie mam natomiast pojęcia jak się wyznacza wektor dołączony...
Pytania: czy macierz jest diagonalizowalna?
Wyznaczyć: \(\displaystyle{ f(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= x^{5} - 3x^{4} + 4x^{2} +5x -6}\)
Robię tak:
wartości własne wchodzą : \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 (2-krotny), \lambda_{2}= (-1) (1-krotny).}\)
rząd macierzy \(\displaystyle{ A-\lambda_{1}\cdot I = 1}\)
wobec tego stwierdzam że macierz nie jest diagonalizowalna tak?
jak zabrać się za drugą część zadania?
wyliczam 2 wektory własne:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\0\\1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3\\-2\\3\end{array}\right]}\)
nie mam natomiast pojęcia jak się wyznacza wektor dołączony...
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2013, o 23:53 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Zauważ, że dla wielomianu \(\displaystyle{ p(t) =t^3 -3t^2 +4}\) mamy \(\displaystyle{ p(A) =0 ,}\) więc
\(\displaystyle{ f(A) =A^2 p(A) +5A -6 =5A-6I .}\)
\(\displaystyle{ f(A) =A^2 p(A) +5A -6 =5A-6I .}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Wartości własne są poprawnie policzone.
Wektor własny dla \(\displaystyle{ \lambda =-1}\) jest ok.
Natomiast dla \(\displaystyle{ \lamda =2}\) masz po postawieniu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -6\\
-2 & 0 & 4\\
3 & 0 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}v_1\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]= 0}\)
Rozwiązanie jest postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]}\)
które możesz rozłożyć na dwa liniowo niezależne wektory własne
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ 0\\ v_3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ v_2\\ 0 \end{array}\right]}\)
Stąd masz pełną macierz przejścia.
Do policzenia wielomianu wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ (P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP}\).
Rozwiązanie od brzoskwinka1 być może jest poprawne (nie sprawdzałem), ale brak w nim jakiejkolwiek dydaktyki, niestety. Ponadto trzeba w nim i tak zrobić coś, czego albo należy unikać (potęgowanie macierzy), albo trzeba wyznaczyć (postać Jordana i macierz przejścia).-- 9 września 2013, 23:54 --Byłbym zapomniał:
Wektor własny dla \(\displaystyle{ \lambda =-1}\) jest ok.
Natomiast dla \(\displaystyle{ \lamda =2}\) masz po postawieniu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -6\\
-2 & 0 & 4\\
3 & 0 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}v_1\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]= 0}\)
Rozwiązanie jest postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ v_2\\ v_3 \end{array}\right]}\)
które możesz rozłożyć na dwa liniowo niezależne wektory własne
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2v_3\\ 0\\ v_3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ v_2\\ 0 \end{array}\right]}\)
Stąd masz pełną macierz przejścia.
Do policzenia wielomianu wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ (P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP}\).
Rozwiązanie od brzoskwinka1 być może jest poprawne (nie sprawdzałem), ale brak w nim jakiejkolwiek dydaktyki, niestety. Ponadto trzeba w nim i tak zrobić coś, czego albo należy unikać (potęgowanie macierzy), albo trzeba wyznaczyć (postać Jordana i macierz przejścia).-- 9 września 2013, 23:54 --Byłbym zapomniał:
Na mocy Twierdzenia Jordana każda macierz ma w pewnej bazie postać Jordana.cezarg1410 pisze: wobec tego stwierdzam że macierz nie jest diagonalizowalna tak?
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Ale postać Jordana to trochę co innego niż diagonalizowalność Dagonalizowalna jest wtedy gdy suma wymiarów podprzestrzeni własnych jest równa rzędowi endomorfozmu
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Chyba więc mamy odmienne definicje diagonalizowalności macierzy.
U mnie macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1& 0\end{array}\right]}\) jest zespoloną klatką Jordana, więc jest macierzą diagonalizowalną.
A co autor tematu rozumie przez macierz diagonalizowalną?
U mnie macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1& 0\end{array}\right]}\) jest zespoloną klatką Jordana, więc jest macierzą diagonalizowalną.
A co autor tematu rozumie przez macierz diagonalizowalną?
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Właśnie na zajęciach diagonalizowalność (bądź nie) macierzy określaliśmy na takich zasadach jak mówi kolegaFunktor.
Czy mogę zadać dodatkowe pytanie? Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie: znajdź taką bazę by jakieś przekształcenie miało w tej bazie macierz w postaci kanonicznej jordana to co konkretnie muszę zrobić? Znaleźć wektory własne macierzy przekształcenia?
Co do zadania:
w takim razie:
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ P^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Czy to się zgadza?
Jak mam teraz liczyć np. piątą potęgę macierzy mając to wszystko?-- 10 wrz 2013, o 02:10 --Przepraszam za miliony pytań , po prostu jestem zielony w tych zagadnieniach...
Czy mogę zadać dodatkowe pytanie? Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie: znajdź taką bazę by jakieś przekształcenie miało w tej bazie macierz w postaci kanonicznej jordana to co konkretnie muszę zrobić? Znaleźć wektory własne macierzy przekształcenia?
Co do zadania:
w takim razie:
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)
a więc:
\(\displaystyle{ P^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Czy to się zgadza?
Jak mam teraz liczyć np. piątą potęgę macierzy mając to wszystko?-- 10 wrz 2013, o 02:10 --Przepraszam za miliony pytań , po prostu jestem zielony w tych zagadnieniach...
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Najlepiej sprawdzić dokonując prostego mnożenia macierzy.cezarg1410 pisze: Czy to się zgadza?
Zauważ, że \(\displaystyle{ A=P^{-1}JP\Rightarrow A^n=P^{-1}J^nP}\) oraz potęgowanie macierzy \(\displaystyle{ J}\) jest bardzo łatwe.cezarg1410 pisze: Jak mam teraz liczyć np. piątą potęgę macierzy mając to wszystko?
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
przemnożyłem w taki sposób: \(\displaystyle{ P^{-1}\cdot A \cdot P}\)yorgin pisze:Najlepiej sprawdzić dokonując prostego mnożenia macierzy.
i wyszła mi macierz gdzie jedynymi wyrazami różnymi od zera były wyrazy na przekątnej równe wartościom własnym macierzy więc chyba jest dobrze.
Natomiast przy podnoszeniu macierzy do piątej potęgi (pierwszy wyraz wielomianu) wychodzi coś źle, bo wolfram podaje inny wynik...
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2013, o 13:43 przez cezarg1410, łącznie zmieniany 2 razy.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
Niczego w \(\displaystyle{ J}\) nie zamieniasz, gdyż powinien być spełniony warunek \(\displaystyle{ PA=JP}\) dla \(\displaystyle{ J}\) będącej takiej postaci, jaką wyznaczyłeś.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
tak więc \(\displaystyle{ A^{5}= P^{-1} \cdot J^{5} \cdot P}\)
wobec tego:
\(\displaystyle{ A^{5} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}^{5} \cdot \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)
i jak to wszystko wymnażam to wychodzi co innego niż podaje wolfram...
wobec tego:
\(\displaystyle{ A^{5} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} &0& \frac{2}{3} \\1&0&-1\\ -\frac{2}{3} &1& \frac{4}{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{bmatrix}^{5} \cdot \begin{bmatrix} 3&2&0\\-2&0&1\\3&1&0\end{bmatrix}}\)
i jak to wszystko wymnażam to wychodzi co innego niż podaje wolfram...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
o właśnie to: \(\displaystyle{ A^{5}=\begin{bmatrix} 3125&0&-7776\\-32&32&1024\\243&0&-1024\end{bmatrix}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 17 mar 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
wyliczenia macierzy wektorów własnych i macierzy jordana pomijam bo jest to chyba dobrze (sprawdzałem).
potem wychodzą mi w tym miejscu dziwne rzeczy...
\(\displaystyle{ J^{5}=\begin{bmatrix} 32&80&0\\0&32&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
potęgowanie tej macierzy powinno być łatwe stąd nie wiem dlaczego mi wychodzi te 80 ...
potem wychodzą mi w tym miejscu dziwne rzeczy...
\(\displaystyle{ J^{5}=\begin{bmatrix} 32&80&0\\0&32&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
potęgowanie tej macierzy powinno być łatwe stąd nie wiem dlaczego mi wychodzi te 80 ...
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Potęgowanie macierzy - liczenie wektorów własnych
A mnożenie \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\) zrobiłeś?