Macierz diagonalna i nieosobliwa

[ZaxHunter]

Potrzebuję wyznaczyć macierz nieosobliwą \(\displaystyle{ P}\) oraz macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\) takie że \(\displaystyle{ D=P^{-1}AP}\)


\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 2&3&0\\3&2&3\\0&3&2\end{bmatrix}}\)

Wyznaczyłem wartości własne i wektory własne, utworzyłem z nich macierz i nie wiem czy to co mi wyszło to macierz \(\displaystyle{ D}\) czy macierz \(\displaystyle{ P}\) i jak obliczyć tą drugą...

[yorgin]

Macierz powstała z wartości własnych to \(\displaystyle{ D}\). Macierz powstała z wektorów własnych to \(\displaystyle{ P}\).

[ZaxHunter]

W tym zadaniu wyszły mi 3 wartości własne \(\displaystyle{ { -1,2,5 }}\)...

Czyli mam rozważyć trzy przypadki?

[yorgin]

Jakie trzy przypadki? Napisałeś, że masz wartości własne i wektory własne wyznaczone. Składasz tylko z tego macierze i gotowe.

[ZaxHunter]

No z wektorów własnych nie problem utworzyć macierz, ale wartości własne to trzy liczby, jak zrobić z nich macierz?

Gdyby odejmować je na przekątnej od głównej macierzy wyszłyby trzy różne macierze w zależności od wybranej wartości własnej, ale chyba nie o to chodzi...
No chyba że to ta macierz w której po odjęciu wartości własnych wychodzą zera na przekątnej?

[yorgin]

[ZaxHunter]

Aha, doczytałem i wyszło mi:

\(\displaystyle{ D= \begin{bmatrix} -1&0&0\\0&2&0\\0&0&5\end{bmatrix}}\)

[yorgin]

No i zgadza się. Do tego mam nadzieję, że masz ułożoną macierz \(\displaystyle{ P}\) i viola. Gotowe.

[ZaxHunter]

Tak, macierz P ułożona według Twojej podpowiedzi z wektorów własnych.

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} -1&1&1\\0&1&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}\)

[bartek118]

To dla pewności przelicz czy się zgadza - powinieneś ustawić wektory własne w tej samej kolejności, co wartości własne.

[ZaxHunter]

W sumie jakiś błąd w obliczeniach mam, ale już schemat rozumiem więc sobie spokojnie poprawię.