Wyznacz nieskończenie wiele rozwiązań w ukłądzie równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Pablo29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 19 lis 2012, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osw/Krk
Podziękował: 9 razy

Wyznacz nieskończenie wiele rozwiązań w ukłądzie równań

Post autor: Pablo29 »

Dla jakich wartości parametru a należace do R poniższy układ posiada jedno rozwiązanie, nieskonczenie wiele roz. oraz jest sprzeczny. w przypadku istnienia nieskończenie wiele rozwiązań wyznacz je
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x&ay&z&=1\\x&-ay&-z&=-1\\-x&y&az&=a\end{array}\right]}\)
-Wyliczyłem że rząd macierzy głównej = uzupełnionej gdy \(\displaystyle{ a=1}\) wtedy rzędy równają się 2 czyli wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań
-Wyliczyłem też że rząd macierzy głównej = uzupełnionej gdy \(\displaystyle{ a \neq 1}\) wtedy rzędy równają sie 3 czyli jest jedno rozwiązanie - parametr a należy do liczb rzeczywistych z wyjątkiem 1
-Układ jest sprzeczny gdy rzędy się różnią a to niemożliwe

Moje pytanie brzmi czy powyższe stwierdzenia są prawdziwe i "w przypadku istnienia nieskończenie wielu rozwiązań wyznacz je" Jak je wyznaczyć ?
kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

Wyznacz nieskończenie wiele rozwiązań w ukłądzie równań

Post autor: kolorowe skarpetki »

Czy Twój układ wygląda następująco \(\displaystyle{ \begin{cases} x+ay+z=1 \\ x-ay-z=-1 \\-x+y+az=a \end{cases}}\) ?

\(\displaystyle{ A}\) - macierz główna układu, \(\displaystyle{ B}\) - macierz uzupełniona układu

W skrócie:

\(\displaystyle{ \det A = 2(1-a^2)}\)

\(\displaystyle{ 1^{\circ}. \, \det A \neq 0 \, \Leftrightarrow \, a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}}\)

\(\displaystyle{ rz A=rz B=3}\)

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\(\displaystyle{ 2^{\circ}. \, a=-1}\)

\(\displaystyle{ rz A=rz B=2}\)

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ x+y-z=-1 \\-x+y-z=-1 \end{cases}}\)

1. W macierzy głównej znajdujemy niezerowy minor najwyższego stopnia.
2. Przenosimy na prawą stronę równań te składniki, których współczynniki przy niewiadomych nie brały udziału w naszym minorze. Niewiadome po prawej stronie będziemy teraz traktować jako parametry.
3. Odrzucamy równania, których współczynniki nie występują w tym minorze.
4. Powstały układ równań jest oznaczony. Rozwiązujemy go tradycyjnie. Ewentualnie stosujemy wzory Cramera bądź metodę macierzową.
5. Podajemy odpowiedź w formie parametrycznej.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ x+y=-1+z \\ z=\alpha \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-\alpha \\ x+y=-1+\alpha \end{cases}}\)

Dodajemy stronami i otrzymujemy: \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=\alpha-1}\).

Zatem nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=\alpha-1 \\ z=\alpha \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{ 3^{\circ}. \, a=1}\)

Postępuj analogicznie.

Podsumowanie: Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}}\). Natomiast, gdy \(\displaystyle{ a \in \{-1,1\}}\) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
ODPOWIEDZ