Przestrzeń wektorowa funkcji zespolonych na przedziale

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wektorową funkcji zespolonych \(\displaystyle{ f:\left[0,2\pi\right] \rightarrow \CC}\). Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \{f_k | \ f_k(x)=\exp(ikx), \ k\in \ZZ\}}\) tworzy w \(\displaystyle{ V}\) układ wektorów liniowo niezależnych, ale nie jest on bazą w sensie algebraicznym.

[thom]

Dla dowolnie ustalonego zbioru skończonego \(\displaystyle{ \{\exp(\mathrm{i}k_jx)\colon j=0,1,\ldots,n-1\}}\), gdzie liczby całkowite \(\displaystyle{ k_0,k_1\ldots,k_{n-1}}\) są parami różne, oblicz wyznacznik Wrońskiego \(\displaystyle{ \mathrm{det}\left(\frac{d^i}{dx^i}\exp(\mathrm{i}k_jx)\right)_{0\leq i,j<n}}\) i skorzystaj z odpowiedniego twierdzenia: . Aby zaś pokazać, że podany zbiór nie jest bazą, wystarczy znaleźć funkcję z \(\displaystyle{ V}\), która (z oczywistych - jakich?) przyczyn nie może być skończoną kombinacją liniową funkcji typu \(\displaystyle{ \exp(ikx)}\).

[yorgin]

Liniowa niezależność:    

\(\displaystyle{ \left\langle f_k,f_l\right\rangle =2\pi \delta_{kl}}\) gdzie \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , -\right\rangle}\) jest kanonicznym (nieunormowanym) iloczynem skalarnym. Stąd i z tego, że układy ortogonalne są liniowo niezależne, wynika pierwsza część zadania.

[ares41]

thom, tam chyba powinno być \(\displaystyle{ \mathrm{det}\left(\frac{d^i}{dx^i}\exp(\mathrm{i}k_jx)\right)_{0\leq i,j<n}}\) zamiast \(\displaystyle{ \mathrm{det}\left(\frac{d^i}{dx^i}\exp(e^{\mathrm{i}k_jx})\right)_{0\leq i,j<n}}\) ?

Dziękuję za te odpowiedzi. Mam jednak pytanie czy da się to zrobić nie korzystając z wyznacznika Wrońskiego ani z ortogonalności? Zadanie to pojawiło się w podr. przed wprowadzeniem tych pojęć i próbuję zrobić je stosując wyłącznie najbardziej podstawowe własności. Trochę mnie zaciekawiło o jaką metodę rozwiązania mogło chodzić autorowi.

Próbowałem to robić analogicznie do dowodu liniowej niezależności jednomianów ( wyzn. Vandermonde'a ), ale chyba coś tam pokręciłem. Jakby ktoś miał pomysł jak to najelementarniej wykazać to będę wdzięczny za naprowadzenie

[thom]

tam chyba powinno być \(\displaystyle{ \mathrm{det}\left(\frac{d^i}{dx^i}\exp(\mathrm{i}k_jx)\right)_{0\leq i,j<n}}\) zamiast \(\displaystyle{ \mathrm{det}\left(\frac{d^i}{dx^i}\exp(e^{\mathrm{i}k_jx})\right)_{0\leq i,j<n}}\)?

Tak, oczywiście. Post już poprawiony

A wyliczenie wyznacznika Wrońskiego sprowadza się właśnie do wyznacznika Vandermonde'a.

[yorgin]

Próbowałem to robić analogicznie do dowodu liniowej niezależności jednomianów ( wyzn. Vandermonde'a ), ale chyba coś tam pokręciłem. Jakby ktoś miał pomysł jak to najelementarniej wykazać to będę wdzięczny za naprowadzenie

Jeżeli masz dowód liniowej niezależności jednomianów, to wymyśliłem coś takiego - nadmieniam, że jest to tylko szkic, do tego tylko i wyłącznie pomysł, który przelewam z głowy.

Ze wzoru Eulera wystarczy wykazać liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ \{\cos x, \cos 2x,\ldots, \sin x,\sin 2x,\ldots\}}\)

Ze wzoru de Moivre'a i dwumianu Newtona można wywnioskować, że \(\displaystyle{ \cos nx =W_n(\cos x)}\). Podobnie \(\displaystyle{ \sin mx= W_m(\sin x)}\) dla nieparzystych \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ \sin mx=\cos x W_{m-1}(\sin x)}\)

Czyżby więc wystarczyło wykazać liniową niezależność \(\displaystyle{ \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x}\)? Może coś jeszcze?

A może prościej, z definicji liniowej niezależności funkcji - zanegować definicję i dojść do sprzeczności.

To tylko pomysły, ale mogą okazać się pomocne

-- 2 września 2013, 15:34 --

Patrząc na wasze wyznacznikowe próby można pokazać więcej

Dla dowolnych parami różnych \(\displaystyle{ a_1,\ldots, a_n\in \CC}\) układ funkcji \(\displaystyle{ e^{a_1z},\ldots, e^{a_nz}}\) jest liniowo niezależny.

Dowód:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sum \mu_i e^{a_iz}=0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sum \mu_i a_i e^{a_iz}=0}\)

\(\displaystyle{ \sum \mu_ia_i^{n-1} e^{a_iz}=0}\)

po różniczkowaniu odpowiednią ilość razy.

Ponieważ powyższe równania zachodzić mają dla każdego \(\displaystyle{ z}\), więc podstawmy \(\displaystyle{ z=0}\).

Dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sum a_i=0 \\ \sum a_i\mu_i=0\\ \ldots \\ \sum a_i^{n-1}\mu_i =0 \end{cases}}\)
którego niewiadomymi są \(\displaystyle{ \mu_i}\).


Powyższy układ jest jednorodny, więc ma nietrywialne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik główny jest zerowy. Ale wyznacznik tego układ to wyznacznik Vandermonde'a, więc

\(\displaystyle{ \det A =\prod (a_j-a_i)\neq 0}\)

Zatem wszystkie \(\displaystyle{ \mu_i=0}\).

[ares41]

Nie pomyślałem o tym, żeby to równanie różniczkować tylko kombinowałem z zerami równania, a po drodze ciągle mi się coś sypało.
Dzięki za pomoc !