Obliczyć równanie macierzowe

[studentka_ck]

Mam takie równanie macierzowe do obliczenia:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&0\end{array}\right] \cdot 2 \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&3\\1&0\end{array}\right]^{-2} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&2&3\\1&1&0\end{array}\right] =}\)

(Nie wiem od czego zacząć. Proszę o jakieś wskazówki.)

[robertm19]

Zacznij od odwrócenia taj macierzy. Wiesz jak to się robi?

[6weronika]

Pierwszą macierz przemnóż z \(\displaystyle{ 2}\) (czyli pomnóż każdy element macierzy przez \(\displaystyle{ 2}\)). Druga macierz podniesiona do potęgi \(\displaystyle{ -2}\) to znaczy, że jest podniesiona do \(\displaystyle{ 2}\) i później do \(\displaystyle{ -1}\) - czyli musisz drugą macierz podnieść do kwadratu (czyli pomnożyć przez siebie) a następnie tak otrzymaną macierz podnieść do \(\displaystyle{ -1}\) czyli ją odwrócić.

Jak to wykonasz to masz mnożenie 3 macierzy - czyli wykonujesz po kolei.

To są podstawy działań na macierzach. Pozdrawiam.

[studentka_ck]

Niestety ale nie pamiętam jak sie odwraca macierz. Pomożecie?

[6weronika]

Zerknij tutaj - . Powinno pomóc.

[studentka_ck]

Pierwszą macierz pomnożyłam przez 2 i wyszło tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&6\\2&0\end{array}\right]}\)-- 27 sie 2013, o 14:58 --A w ogóle jak obliczyć macierz do potęgi 2 ?

[robertm19]

Pierwszą macierz pomnożyłam przez 2 i wyszło tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&6\\2&0\end{array}\right]}\)

-- 27 sie 2013, o 14:58 --

A w ogóle jak obliczyć macierz do potęgi 2 ?

Przemnóż \(\displaystyle{ A\cdot A}\).

[6weronika]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}
2&3\\
1&0
\end{array} \right]\cdot \left[\begin{array}{cc}
2&3\\
1&0
\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc}
2\cdot 2+3 \cdot 1&2 \cdot 3+3 \cdot 0\\
1 \cdot 2+0 \cdot 1&1 \cdot 3+0 \cdot 0
\end{array} \right]}\)

[studentka_ck]

Mam teraz tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&6\\4&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}7&6\\2&3\end{array}\right]^{-1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&2&3\\1&1&0\end{array}\right] =}\)

-- 27 sie 2013, o 15:20 --

Czyli ta macierz do potęgi -1 będzie wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-6\\-2&7\end{array}\right]}\) ????

[6weronika]

Potęga \(\displaystyle{ -1}\) oznacza odwracanie! Polecam przejrzeć jakiekolwiek notatki z rachunku macierzowego zanim się zabierzesz do rozwiązywania zadań.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}\\
\det{ \begin{bmatrix} 2-\lambda&3 \\ 1&-\lambda \end{bmatrix}}=0\\
\left( 2-\lambda\right)\left( -\lambda\right)-3=0\\
\lambda^2-2\lambda-3=0\\
\lambda^2=2\lambda+3\\
1= \frac{1}{3}\lambda\left( \lambda-2\right)\\
\lambda^{-1}=\frac{1}{3}\left( \lambda-2\right)\\
\begin{bmatrix} 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}^2=2\begin{bmatrix} 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}+3 \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{3}\left( \begin{bmatrix} 2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\right)}\)

Możesz rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\)
(Do tego najlepiej użyć eliminacji Gaussa bądż rozkładu LU)
Możesz z twierdzenia Cayleya Hamiltona tak jak pokazałem

[studentka_ck]

Posłużyłam się takim wzorem na przypadki szczególne:

Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2 x 2 może być szybko wyznaczona wg wzoru:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]^{-1}= \frac{1}{ad-bc}}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]}\)

I wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}7&8\\2&3\end{array}\right]^{-1} = \frac{1}{21-12}}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-6\\-2&7\end{array}\right]}\)

czyli ostatecznie:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}7&8\\2&3\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{9} & \frac{-6}{9} \\ \frac{-2}{9} & \frac{7}{9} \end{array}\right]^{-1}}\)

Tak jest dobrze???

-- 28 sie 2013, o 12:58 --

Bez tej liczby do potęgi \(\displaystyle{ -1}\)

[6weronika]

Tak, jest ok dla macierzy z zadania, a w ostatnim poście źle przepisałaś zadanie - masz 8 zamiast 6.

[studentka_ck]

Dobra to poprawie. Ale to dobrze że mam dobrze dzieki