Uogólnione rozwinięcie Laplace'a.

[ares41]

Niech:
\(\displaystyle{ A\in\mathbb{K}^{n\times n}, \ k\in\{1,...,n-1\}, \ I,J \subseteq \{1,...,n\}, \ I'=\{1,...,n}\} \setminus I, \ |I|= \sum_{i\in I} i}\)
przy czym \(\displaystyle{ I,J}\) mają po \(\displaystyle{ k}\) elementów.
Niech \(\displaystyle{ A_{IJ}}\) oznacza macierz powstałą z elementów macierzy \(\displaystyle{ A}\) leżących na przecięciu wszystkich wierszy o numerach z \(\displaystyle{ I}\) i kolumn o numerach z \(\displaystyle{ J}\), z zachowaniem ich kolejności.
Wykazać, że
\(\displaystyle{ \det A= \sum_{J}(-1)^{|I|+|J|}\det A_{IJ}\det A_{I'J'}=\sum_{J}(-1)^{|I|+|J|}\det A_{JI}\det A_{J'I'}}\)

[thom]

Dowód można znaleźć

Kod: Zaznacz cały

http://www.imvibl.org/imvibl/buletin/bultetin_15_2008/buletin_15_2008_5_7.pdf

.