Wyznacznik Vandermonde'a dla pierwiastków z jedynki

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznacznik Vandermonde'a dla pierwiastków z jedynki

Post autor: ares41 »

Niech \(\displaystyle{ E= \frac{1}{ \sqrt{n} } \begin{bmatrix} 1&1&.....&1\\ \varepsilon_1&\varepsilon_2&.....&\varepsilon_n\\ \varepsilon_1^2&\varepsilon_2^2&.....&\varepsilon_n^2 \\ ........&.......&.......&......\\ \varepsilon_1^{n-1}&\varepsilon_2^{n-1}&.....&\varepsilon_n^{n-1}\end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_1,...,\varepsilon_n}\) są wszystkimi pierwiastkami \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).

Znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\) takie, że \(\displaystyle{ \det \overline{E}= \alpha\det E}\).
Odpowiedź:    
Wyznaczyć, z dokładnością do znaku, \(\displaystyle{ \det E}\).

Niech pierwiastki \(\displaystyle{ \varepsilon_1,...,\varepsilon_n}\) uszeregowane będą w kolejności \(\displaystyle{ 1,\varepsilon,\varepsilon^2,...,\varepsilon^{n-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\exp\left( \frac{i2\pi}{n} \right)}\). Wyznaczyć, w tym przypadku, \(\displaystyle{ \det E}\).
Odpowiedź:    
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wyznacznik Vandermonde'a dla pierwiastków z jedynki

Post autor: yorgin »

ares41 pisze: Znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\) takie, że \(\displaystyle{ \det \overline{E}= \alpha\det E}\).
Bardzo elementarne rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Edycja: poprawka indeksów po uwadze z poniższego postu. Dodana uwaga o pierwiastku.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wyznacznik Vandermonde'a dla pierwiastków z jedynki

Post autor: ares41 »

yorgin pisze: Dodatkowo mamy

\(\displaystyle{ \det \overline{E}=\prod\limits_{i<j}\overline{(\varepsilon_i-\varepsilon_j)}}\)
Tam indeksy powinny być odwrotnie, ale liczymy zmiany w rozmieszczeniu pierwiastków, więc nie ma to wpływu na wynik.
Rozwiązanie rzeczywiście proste, ja na początku kombinowałem ze zliczaniem liczby przestawień kolumn w tym wyznaczniku, ale nie bardzo wychodziło.

W drugiej części zadania mam coś takiego (pomijam stały czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} }}\) ):

\(\displaystyle{ \det E'= \prod\limits_{i<j} \left( \varepsilon_j-\varepsilon_i \right) = \prod_{0 \le j < k \le n-1}\left[\exp \left( \frac{2\pi i k}{n} \right) -\exp \left( \frac{2\pi i j}{n} \right) \right]=\\= \prod_{0 \le j < k \le n-1}\left[2i \exp \left( \frac{i\pi \left( k+j \right) }{n} \right)\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right]=\\= \left( \prod_{0 \le j < k \le n-1}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \left( \prod_{0 \le j < k \le n-1}i \exp \left( \frac{i\pi \left( k+j \right) }{n} \right) \right)=\\=\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \left( \prod_{1 \le j < k \le n}i \exp \left( \frac{i\pi \left( k+j -2\right) }{n} \right) \right)=\\=i^{ \frac{1}{2}n(n-1) }\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \exp\left[ \sum_{1 \le j<k \le n}\left( \frac{\pi i (k+j-2)}{n} \right) \right]=\\=i^{ \frac{1}{2}n(n-1) }\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \exp\left[ \frac{\pi i }{n} \sum_{1 \le j<k \le n}(k+j-2) \right]}\)

Dalej mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{1 \le j<k \le n} \left( k+j-2 \right) = \left( \sum_{1 \le j<k \le n} \left( k+j \right) \right) - \left( n-1 \right) n= \\=\left( 2 \cdot 1+1 \right) + \left( 3 \cdot 2+ \left( 1+2 \right) \right) +...+ \left( n \left( n-1 \right) + \frac{n \left( n-1 \right) }{2} \right)-n \left( n-1 \right) =\\= \sum_{k=2}^{n} \left[ k \left( k-1 \right) + \frac{k \left( k-1 \right) }{2} \right] -n \left( n-1 \right)= \frac{3}{2}\sum_{k=2}^{n}k(k-1) - n(n-1)=\\= \frac{1}{2} (n-1)n(n+1)-n(n-1)= \frac{1}{2}n(n-1)^2}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \det E'=i^{ \frac{1}{2}n \left( n-1 \right) }\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \exp\left[ \frac{\pi i }{n} \cdot \frac{1}{2}n \left( n-1 \right) ^2 \right]=\\=\exp \left[ \frac{\pi i }{4}n \left( n-1 \right) \right] \left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \exp\left[ \frac{\pi i }{2} \left( n-1 \right) ^2 \right]=\\=\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right)\exp \left[ \frac{\pi i}{4} \left( n-1 \right) \left( 3n-2 \right) \right]=\\=\left( \prod_{1 \le j < k \le n}2\sin \left( \frac{\pi \left( k-j \right) }{n} \right) \right) \cdot i^{\frac{1}{2} \left( n-1 \right) \left( 3n-2 \right)}}\)

Czy da się to jakoś "bezboleśnie" przekształcić tak, aby otrzymać żądaną postać ?
Myślałem o zastosowaniu twierdzenia Cauchy'ego, bo macierz jest unitarna, więc musi być także \(\displaystyle{ \det E \cdot \det\overline{E}=1}\), ponieważ \(\displaystyle{ \overline{E} = \left( E^{\dagger} \right) ^T}\)
ODPOWIEDZ