Wyznaczyć, z dokładnością do znaku, \(\displaystyle{ \det E}\).
Niech pierwiastki \(\displaystyle{ \varepsilon_1,...,\varepsilon_n}\) uszeregowane będą w kolejności \(\displaystyle{ 1,\varepsilon,\varepsilon^2,...,\varepsilon^{n-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\exp\left( \frac{i2\pi}{n} \right)}\). Wyznaczyć, w tym przypadku, \(\displaystyle{ \det E}\).
Jeśli teraz rozważymy czynniki z iloczynu które są postaci \(\displaystyle{ 1-\varepsilon_j}\) (jeden z pierwiastków pierwotnych to jedynka), to sprzężenie permutuje tylko rozmieszczenie tych czynników. Innymi słowy
W pozostałych czynnikach sprzężenie również permutuje pierwiastki, ale również łatwo zauważyć, że jeżeli
\(\displaystyle{ \mathbf{i<j}}\) oraz \(\displaystyle{ k,l}\) są takie, że \(\displaystyle{ \varepsilon_k=\overline{\varepsilon_i}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_l=\overline{\varepsilon_j}}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{k>l}}\)
Innymi słowy, sprzężenie permutuje wszystkie czynniki niezawierające jedynki zmienia ich znaki na przeciwne. Wystarczy teraz policzyć, ile takich zmian znaków jest. Łatwo sprawdzić, że jest ich \(\displaystyle{ 1+2+\ldots + (n-1)={n-1\choose 2}}\), a więc
Tam indeksy powinny być odwrotnie, ale liczymy zmiany w rozmieszczeniu pierwiastków, więc nie ma to wpływu na wynik.
Rozwiązanie rzeczywiście proste, ja na początku kombinowałem ze zliczaniem liczby przestawień kolumn w tym wyznaczniku, ale nie bardzo wychodziło.
W drugiej części zadania mam coś takiego (pomijam stały czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} }}\) ):
Czy da się to jakoś "bezboleśnie" przekształcić tak, aby otrzymać żądaną postać ?
Myślałem o zastosowaniu twierdzenia Cauchy'ego, bo macierz jest unitarna, więc musi być także \(\displaystyle{ \det E \cdot \det\overline{E}=1}\), ponieważ \(\displaystyle{ \overline{E} = \left( E^{\dagger} \right) ^T}\)