Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą kolumnami. Wykazać, że \(\displaystyle{ \det(\bold{1}+XY^T)=1+X^TY}\).
Dowód robię przez indukcję ze względu na długość kolumn.
\(\displaystyle{ \det \left( \bold{1}_{n+1}+X_{n+1}Y_{n+1}^T \right) =\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&1+x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}}\)
W jaki sposób przekształcić ostatnią kolumnę/wiersz, aby móc skorzystać z założenia indukcyjnego ?
Wyznacznik macierzy, dowód indukcyjny
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Wyznacznik macierzy, dowód indukcyjny
Spróbujmy tak:
z wieloliniowości wyznacznika (ostatnia kolumna)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&1+x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}=\\
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&0\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&0\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&0\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&1\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}}\)
Teraz łatwo widać, że z założenia indukcyjnego pierwsze to \(\displaystyle{ 1+x_1y_1+...+x_ny_n}\). Natomiast drugie, jak pokażemy, wynosi \(\displaystyle{ x_{n+1}y_{n+1}}\).
Korzystamy znowu z wieloliniowości aby wyciągnąć skalary z ostatniego wiersza i kolumny:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}
= \\= x_{n+1}y_{n+1}
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_n\\y_1 &y_2 &... &y_n&1\end{vmatrix}}\)
Pozostaje pokazać, że ostatni wyznacznik jest równy 1. To pewnie można na kilka sposobów. Ja proponuję wykonać takie operacje dla \(\displaystyle{ i=1..n}\): od i-tej kolumny odejmij \(\displaystyle{ y_i \times \mbox{ostatnia kolumna}}\).
z wieloliniowości wyznacznika (ostatnia kolumna)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&1+x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}=\\
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&0\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&0\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&0\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&1\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}}\)
Teraz łatwo widać, że z założenia indukcyjnego pierwsze to \(\displaystyle{ 1+x_1y_1+...+x_ny_n}\). Natomiast drugie, jak pokażemy, wynosi \(\displaystyle{ x_{n+1}y_{n+1}}\).
Korzystamy znowu z wieloliniowości aby wyciągnąć skalary z ostatniego wiersza i kolumny:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1y_{n+1}\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2y_{n+1}\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_ny_{n+1}\\x_{n+1}y_1 &x_{n+1}y_2 &... &x_{n+1}y_n&x_{n+1}y_{n+1}\end{vmatrix}
= \\= x_{n+1}y_{n+1}
\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 &x_1y_2 &... &x_1y_n&x_1\\x_2y_1 &1+x_2y_2 &... &x_2y_n&x_2\\........&..........&............&.........&............\\x_ny_1 &x_ny_2 &... &1+x_ny_n&x_n\\y_1 &y_2 &... &y_n&1\end{vmatrix}}\)
Pozostaje pokazać, że ostatni wyznacznik jest równy 1. To pewnie można na kilka sposobów. Ja proponuję wykonać takie operacje dla \(\displaystyle{ i=1..n}\): od i-tej kolumny odejmij \(\displaystyle{ y_i \times \mbox{ostatnia kolumna}}\).