Cześć, za 2 tygodnie mam egzamin i przygotowuję się przez rozwiązywanie egzaminów z lat poprzednich. Natrafiłam na takie zadanie:
Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa-Jordana
\(\displaystyle{ 3x _{1}+6x _{2}-9x _{3}=15 \\
2x _{1}+4x _{2}-6x _{3}=10 \\
-2x _{1}-3x _{2}+4x _{3}=-6}\)
Postanowiłam podzielić pierwszy wiersz przez 3, a drugi wiersz przez 2 i wpisałam to tak do macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-3&5\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right]}\)
I tutaj doszłam do wniosku, że: Metodą Gaussa możemy traktować jedynie macierz nieosobliwą. Macierz, która zawiera dwa identyczne wiersze ma wyznacznik równy 0, więc jest osobliwa. W związku z tym układ ten nie ma rozwiązań. Mam rację, czy dla układu równań liniowych stosuje się inne zasady niż dla pojedynczych macierzy?
Spróbowałam to także rozwiązać do końca, aż doszłam do macierzy o następującym kształcie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&-3\\0&1&-2&4\end{array}\right]}\)
Co tutaj zrobić z niewiadomą \(\displaystyle{ x _{3}}\)? Nie mam już pomysłu
Układy równań liniowych - metoda Gaussa
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 9 mar 2013, o 11:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 9 mar 2013, o 11:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Układy równań liniowych - metoda Gaussa
Dobrze, więc dalej pokazałam rozwiązanie do pewnego stopnia i co z tym dalej zrobić?robertm19 pisze:Metoda Gaussa nie korzysta z wyznaczników, a z sprowadzania macierzy do postaci schodkowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1591
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 246 razy
Układy równań liniowych - metoda Gaussa
jedyne co można zrobić to tak, jak się robi przy wyznaczaniu wektorów własnych macierzy, określić rozwiązanie z parametrem
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_1-w_2}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_2+2w_1}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\0&1&-2&4\end{array}\right]\\
\\
x_3 = \alpha\\
\\
x_2 - 2\alpha = 4\\
x_2 = 4+2\alpha\\
\\
x_1 + 2(4+2\alpha) -3 \alpha = 5\\
x_1 + 8 + 4\alpha -3\alpha = 5\\
x_1 + 8 + \alpha = 5\\
x_1 = -3 -\alpha\\
\\
\begin{cases}
x_1 = -3 -\alpha\\
x_2 = 4+2\alpha\\
x_3 = \alpha
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_1-w_2}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_2+2w_1}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\0&1&-2&4\end{array}\right]\\
\\
x_3 = \alpha\\
\\
x_2 - 2\alpha = 4\\
x_2 = 4+2\alpha\\
\\
x_1 + 2(4+2\alpha) -3 \alpha = 5\\
x_1 + 8 + 4\alpha -3\alpha = 5\\
x_1 + 8 + \alpha = 5\\
x_1 = -3 -\alpha\\
\\
\begin{cases}
x_1 = -3 -\alpha\\
x_2 = 4+2\alpha\\
x_3 = \alpha
\end{cases}}\)