Układy równań liniowych - metoda Gaussa

[UltimateCraving]

Cześć, za 2 tygodnie mam egzamin i przygotowuję się przez rozwiązywanie egzaminów z lat poprzednich. Natrafiłam na takie zadanie:

Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa-Jordana
\(\displaystyle{ 3x _{1}+6x _{2}-9x _{3}=15 \\
2x _{1}+4x _{2}-6x _{3}=10 \\
-2x _{1}-3x _{2}+4x _{3}=-6}\)

Postanowiłam podzielić pierwszy wiersz przez 3, a drugi wiersz przez 2 i wpisałam to tak do macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-3&5\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right]}\)

I tutaj doszłam do wniosku, że: Metodą Gaussa możemy traktować jedynie macierz nieosobliwą. Macierz, która zawiera dwa identyczne wiersze ma wyznacznik równy 0, więc jest osobliwa. W związku z tym układ ten nie ma rozwiązań. Mam rację, czy dla układu równań liniowych stosuje się inne zasady niż dla pojedynczych macierzy?

Spróbowałam to także rozwiązać do końca, aż doszłam do macierzy o następującym kształcie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&-3\\0&1&-2&4\end{array}\right]}\)

Co tutaj zrobić z niewiadomą \(\displaystyle{ x _{3}}\)? Nie mam już pomysłu

[robertm19]

Metoda Gaussa nie korzysta z wyznaczników, a z sprowadzania macierzy do postaci schodkowej.

[UltimateCraving]

Metoda Gaussa nie korzysta z wyznaczników, a z sprowadzania macierzy do postaci schodkowej.

Dobrze, więc dalej pokazałam rozwiązanie do pewnego stopnia i co z tym dalej zrobić?

[Gouranga]

jedyne co można zrobić to tak, jak się robi przy wyznaczaniu wektorów własnych macierzy, określić rozwiązanie z parametrem

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_1-w_2}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}0&0&0&0\\1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\-2&-3&4&-6\end{array}\right] \stackrel{w_2+2w_1}{=} \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-3&5\\0&1&-2&4\end{array}\right]\\
\\
x_3 = \alpha\\
\\
x_2 - 2\alpha = 4\\
x_2 = 4+2\alpha\\
\\
x_1 + 2(4+2\alpha) -3 \alpha = 5\\
x_1 + 8 + 4\alpha -3\alpha = 5\\
x_1 + 8 + \alpha = 5\\
x_1 = -3 -\alpha\\
\\
\begin{cases}
x_1 = -3 -\alpha\\
x_2 = 4+2\alpha\\
x_3 = \alpha
\end{cases}}\)