Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

Witam.

Jak mogę sprawdzić, czy poniższe przestrzenie są ortogonalne?

\(\displaystyle{ V_{1} =\left\{ \left( x_{1}, x_{2}, x _{3}, x_{4} \right), 3x_{1} + 2x_{2} + x _{3} + 2x_{4}=0; 4x_{1} + 4x_{2} + 3x _{3} + x_{4}=0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=lin\left\{ \left( 1,2,2,-1\right), \left( 2,0,-1,3\right) \right\}}\)

Jak się do tego zabrać? Proszę o pomoc..
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: robertm19 »

Trzeba sprawdzić czy wektory bazowe jednej przestrzeni są ortogonalne do wektorów bazowych drugiej.
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

Jak znaleźć bazę tej drugiej przestrzeni?
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: robertm19 »

wizard8912 pisze:Jak znaleźć bazę tej drugiej przestrzeni?
Rozwiąż układ równań.
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

\(\displaystyle{ \alpha +2 \beta =0}\)
\(\displaystyle{ 2 \alpha =0}\)
\(\displaystyle{ 2 \alpha - \beta =0}\)
\(\displaystyle{ - \alpha +3 \beta =0}\)

Taki układ równań?
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: robertm19 »

Aha ty mówisz o tej drugiej nie o pierwszej. W tej drugiej to masz juz w tresci dwa wektory bazowe
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

Dzięki

I jeżeli baza pierwszej przestrzeni wyszło mi \(\displaystyle{ \left\{ \left( 1,0,-1,-1\right), \left( 0,1,- \frac{6}{5},- \frac{2}{5} \right) \right\}}\)

to muszę pomnożyć macierze utworzone z tych wektorów bazowych, wychodzi mi macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)

i stąd wnioskuję, że przestrzenie nie są ortogonalne, czy tak?
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: robertm19 »

Nie rozumiem jak mnożysz te macierze. Sprawdza się iloczyn skalarny \(\displaystyle{ (v_{i}|u_{j})}\), gdzie \(\displaystyle{ v_{i}\in V_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ u_{j}\in V_{2}}\) dla \(\displaystyle{ i,j=1,2}\).
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

Ustawiając wektory w dwie macierze 2x4 i 4x2 i mnożąc je przez siebie otrzymuję macierz 2x2 w której zapisane są wyniki iloczynów skalarnych wszystkich czterech mnożeń wektorów bazowych.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: robertm19 »

Ok, chciałem się upewnić. No to jak wyszły same zero to są ortogonalne. Bo odpowiednie iloczyny są zero.
wizard8912
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 14 paź 2010, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 21 razy

Czy podprzestrzenie są ortogonalne?

Post autor: wizard8912 »

No tak, tak, o tym myślałem, napisałem inaczej Dzięki.
ODPOWIEDZ