Rozkład wektora w układzie ortonormalnym

[wizard8912]

Witam.

W jaki sposób mogę rozwiązać to zadanie: Wyznaczyć rozkład wektora \(\displaystyle{ \left( 1,1,1,1\right)}\) w układzie ortonormalnym złożonym z wektorów: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( 1,1,0,0\right), \frac{ \sqrt{6} }{6}\left( 1,-1,0,2\right), \frac{ \sqrt{12} }{12}\left( -1,1,-3,1\right), \frac{1}{2}\left( -1,1,1,1\right)}\)

Bardzo proszę o pomoc, bo sam nie wiem jak to zrobić...

[yorgin]

Oznaczmy \(\displaystyle{ u=(1,1,1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3, v_4}\) wektory z układu ortonormalnego.

Szukasz rozkładu

\(\displaystyle{ u=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4}\)

ale dzięki ortonormalności

\(\displaystyle{ \left\langle u, v_i\right\rangle = a_i \left\langle v_i, v_i\right\rangle=a_i}\)

[robertm19]

Czyli musisz pokazać, że jest kombinacja liniową tych wektorów. Każdy skończony układ wektorów ortogonalnych jest niezależny. Więc mamy 4 wektory niezależne w \(\displaystyle{ R^4}\), zatem są one bazą i taki rozkład istnieje.