Wektory ortogonalne do wektora

[wizard8912]

Witam.

Mam takie zadanie: W \(\displaystyle{ R^{3}}\) wyznaczyć wszystkie wektory ortogonalne do wektora \(\displaystyle{ u=\left( 1, 1, 1\right)}\)

Robię to tak:

Szukany wektor będzie postaci: \(\displaystyle{ w=\left( x,y,z\right)}\)

\(\displaystyle{ u \circ w = 0}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ w=\left( x,-x-z,z\right)}\)

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie?

[Kacperdev]

Odpowiedz napisałbym w formie zbioru tzn, jest to zbiór wszystkich wektorów \(\displaystyle{ W}\) takich, że:

\(\displaystyle{ W=\left\{ \left( x,-x-z,z\right) : x, z \in R \right\}}\)

[wizard8912]

Jasne, dzięki

A podobny przykład, tylko trochę trudniejszy, ale też nie jestem pewien i prosiłbym o pomoc, czy dobrze:

wyznaczyć wektory mające długość 1 i ortagonalne do \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }\left( 1,0,-1\right), \frac{1}{ \sqrt{3} }\left( 1,1,1\right)}\)

Szukany wektor: \(\displaystyle{ t=\left( x,y,z\right)}\)

Postaje układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{ \sqrt{2} }x- \frac{1}{ \sqrt{2} }z=0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3} }x+\frac{1}{ \sqrt{3} }y+\frac{1}{ \sqrt{3} }z=0}\)

dalej wyznaczam

\(\displaystyle{ x=z}\)
\(\displaystyle{ 2x=y}\)

więc \(\displaystyle{ t=\left( x,2x,x\right)}\)

teraz długość ma być 1 więc:

\(\displaystyle{ \left| t\right| = \sqrt{6 x^{2} }=1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{6} \vee x=- \frac{1}{6}}\)

i ostatecznie:

\(\displaystyle{ t=\left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right) \vee t=\left( - \frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{6} \right)}\)

Czy to jest dobrze?

[Kacperdev]

Nie do końca rozumiem twojego układu równan. Ja bym to liczył iloczynu wektorowego.

[Ser Cubus]

wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor prostopadły do 2 danych, też mi się to wydaje lepszą metodą, ale wizard8912, policzył 2 razy iloczyn skalarny i przyrównał go do zera. Odpowiedź powinna być taka sama

wizard8912, Twoje rozwiązanie jest dobre

[Kacperdev]

faktycznie nie wiem dlaczego nie powiązalem tego z iloczynem skalarnym. ciekawe podejscie.
Jednak to nie są wersory. powino być \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) zamiast \(\displaystyle{ 6}\) w mianownikach. reszta ok.