Obraz odwzorowania

[paula27]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}}\) w bazie \(\displaystyle{ B=(u_1,u_2,u_3)}\).

Znaleźć \(\displaystyle{ \mbox{ker} f, \mbox{im} f}\) i ich bazy. \(\displaystyle{ \mbox{ker}f}\) znalazłam, ale mam problem z \(\displaystyle{ \mbox{im}f...}\) znalazłam taką odpowiedź:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\ \left(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}x_3\ \right)=\\
\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&1&3\\0&3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}x_3=\\ \begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}1\\1\\3\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}x_3}\)



i \(\displaystyle{ \mbox{im}f}\) to niby \(\displaystyle{ \{(2,-1,0),(1,1,3),(2,3,1)\}}\). ale to przecież obraz dla \(\displaystyle{ (y_1,y_2,y_3)...}\), a \(\displaystyle{ [y_1,y_2,y_3]}\) to współrzedne wektora \(\displaystyle{ y}\) (takiego że \(\displaystyle{ f(x)=y}\) i \(\displaystyle{ x=x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3}\) i \(\displaystyle{ y=y_1u_1+y_2u_2+y_3u_3}\). A ja szukam obrazu dla \(\displaystyle{ y}\) a nie dla \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\). Nie moge tego zrozumieć, mógłby mi to ktoś wytłumaczyć? byłabym bardzo wdzięczna

[yorgin]

[/latex] w bazie \(\displaystyle{ B=(u_1,u_2,u_3)}\).

Jak wyglądają \(\displaystyle{ u1, u2, u3}\) ?

i \(\displaystyle{ \mbox{im}f}\) to niby \(\displaystyle{ \{(2,-1,0),(1,1,3),(2,3,1)\}}\).

Ten wniosek jest zbyt pochopny, aczkolwiek poprawny. Wymaga jednak uzasadnienia.

ale to przecież obraz dla \(\displaystyle{ (y_1,y_2,y_3)...}\),

Rozumiesz, co piszesz?

A ja szukam obrazu dla \(\displaystyle{ y}\) a nie dla \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\).

Przecież \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2,y_3)}\) więc to wszystko jedno.

Całe prezentowane przez rozwiązanie nie ma żadnego uzasadnienia. Chcesz sprawdzić, co jest obrazem, to musisz rozwiązać odpowiedni układ równań.

Ukryta treść:    

Rozwiązanie w 1 linijce:
\(\displaystyle{ \det A\neq 0 \Rightarrow \mbox{im}A=\RR^3, \ker A=\{0\}}\) oraz bazą \(\displaystyle{ \mbox{im}A}\) jest dowolna baza \(\displaystyle{ \RR^3}\).

[paula27]

[/latex] w bazie \(\displaystyle{ B=(u_1,u_2,u_3)}\).

Jak wyglądają \(\displaystyle{ u1, u2, u3}\) ?

w zadaniu nie ma podanych. Po prostu jest \(\displaystyle{ B=(u_1,u_2,u_3)}\)

i \(\displaystyle{ \mbox{im}f}\) to niby \(\displaystyle{ \{(2,-1,0),(1,1,3),(2,3,1)\}}\).

Ten wniosek jest zbyt pochopny, aczkolwiek poprawny. Wymaga jednak uzasadnienia.

a więc jak to uzasadnić? tej części właśnie nie rozumiem.

ale to przecież obraz dla \(\displaystyle{ (y_1,y_2,y_3)...}\),

Rozumiesz, co piszesz?

masz racje, za bardzo sie pospieszyłam, chodziło mi o to że to kombinacja tych wektorów

A ja szukam obrazu dla \(\displaystyle{ y}\) a nie dla \(\displaystyle{ y_1,y_2,y_3}\).

Przecież \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2,y_3)}\) więc to wszystko jedno.

czemu \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2,y_3)}\)? w bazie kanonicznej tak. ale nie w bazie B. w bazie B \(\displaystyle{ y=y_1u_1+y_2u_2+y_3u_3}\)...

[yorgin]

A jak wygląda \(\displaystyle{ B}\)? Pytałem o to i nie dostałem żadnej odpowiedzi.

Póki co to co zrobiłaś to zapisanie wektora \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2,y_3)}\) jako kombinacji liniowej w bazie standardowej . I wszystko tak robiłaś więc napisałem, że wszystko jedno.

[paula27]

na samym początku napisałam, nie ma dokładnie podanej bazy w zadaniu, jest tylko \(\displaystyle{ B=(u_1,u_2,u_3)}\). teraz to ja już w ogóle nie wiem jak zrobić to zadanie;p

\(\displaystyle{ f(u_1)=2u_1-u_2}\)
\(\displaystyle{ f(u_2)=u_1+u_2+3u_3}\)
\(\displaystyle{ f(u_3)=2u_1+3u_2+u_3}\)
wartość odwzorowania ma postać: \(\displaystyle{ \alpha _1f(u_1)+ \alpha _2f(u_2)+ \alpha _3f(u_3)= \alpha _1\left(2u_1-u_2 \right)+ \alpha _2\left(u_1+u_2+3u_3 \right)+ \alpha _3\left(2u_1+3u_2+u_3 \right)}\). Więc Imf=\(\displaystyle{ \left\{ 2u_1-u_2,u_1+u_2+3u_3,2u_1+3u_2+u_3\right\}}\). Wyliczyłam że są niezależne a więc wymiar to 3. ale czy to co zrobiłam jest dobrze?

[yorgin]

Ok, a więc \(\displaystyle{ B}\) jest jakąkolwiek bazą.

\(\displaystyle{ \im f=\left\{ 2u_1-u_2,u_1+u_2+3u_3,2u_1+3u_2+u_3\right\}}\)

No to jest trochę mało. Obrazem jest co dokładnie? Zbiór trzech wektorów?

[paula27]

no obrazem jest wektor który jest kombinacją liniową wektorów z Imf której podałam, a te znowu są kombinacją wektorów z bazy B.
\(\displaystyle{ \Im f=lin\left\{ 2u_1-u_2,u_1+u_2+3u_3,2u_1+3u_2+u_3\right\}}\). W poprzednim poście zapomniałam dodać lin. A więc czy teraz jest dobrze?

[yorgin]

W zasadzie wynik jest poprawny, chociaż nie do końca rozumiem Twój tok postępowania.

Pytanie, jakie się nasuwa - jaka jest baza \(\displaystyle{ \im f}\) ? Tego nie napisałaś.

[paula27]

\(\displaystyle{ f(u_1)=2u_1-u_2}\)
\(\displaystyle{ f(u_2)=u_1+u_2+3u_3}\)
\(\displaystyle{ f(u_3)=2u_1+3u_2+u_3}\)
Istnieje \(\displaystyle{ u \in R^3}\) taki że \(\displaystyle{ f(u)=f\left( \alpha _1u_1+ \alpha _2u_2+ \alpha _3u_3 \right)= \alpha _1f(u_1)+ \alpha _2f(u_2)+ \alpha _3f(u_3)= \alpha _1\left(2u_1-u_2 \right)+ \alpha _2\left(u_1+u_2+3u_3 \right)+ \alpha _3\left(2u_1+3u_2+u_3 \right)}\).
Zatem \(\displaystyle{ Imf=lin\left\{ 2u_1-u_2,u_1+u_2+3u_3,2u_1+3u_2+u_3\right\}}\).
Sprawdzam liniową niezależność tych wektorów:
\(\displaystyle{ \alpha _1\left(2u_1-u_2 \right)+ \alpha _2\left(u_1+u_2+3u_3 \right)+ \alpha _3\left(2u_1+3u_2+u_3 \right)=0}\).
Przekształcam:
\(\displaystyle{ u_1\left( 2 \alpha _1+ \alpha _2+2 \alpha _3\right)+u_2\left( - \alpha _1+ \alpha _2+3 \alpha _3\right)+u_3\left( 3 \alpha _2+ \alpha _3\right)=0}\)
Wektory \(\displaystyle{ u_1,u_2,u_3}\) tworzą baze więc są liniowo niezależne, zatem:
\(\displaystyle{ 2 \alpha _1+ \alpha _2+2 \alpha _3=0}\)
\(\displaystyle{ - \alpha _1+ \alpha _2+3 \alpha _3=0}\)
\(\displaystyle{ 3 \alpha _2+ \alpha _3=0}\)
Z tego układu wynika że \(\displaystyle{ \alpha _1= \alpha _2= \alpha _3=0}\) zatem wektory \(\displaystyle{ 2u_1-u_2,u_1+u_2+3u_3,2u_1+3u_2+u_3}\) są liniowo niezależne, więc tworzą baze, więc wymiar imf jest równy 3, takie jest moje rozumowanie

[yorgin]

Ot, tego właśnie brakowało.