Czy jest bazą przestrzeni liniowej

[wizard8912]

Witam.

Mam takie zadanie:

Sprawdź, czy układ wektorów: \(\displaystyle{ \left[ 1,2,3\right], \left[ 0,3,2\right]}\) jest bazą podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ lin\left( \left[ 2,4,6\right], \left[ -2,2,2\right] \right)}\)

Robię to w taki sposób:

Obliczam rząd macierzy z wektorów, wychodzi, że są one liniowo niezależne, a więc mogą być bazą, a potem tworzę taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&-2\\2&3&4&2\\3&2&6&2\end{array}\right]}\)

To jest macierz rozszerzona, gdzie trzecia i czwarta kolumna to wektory z tego podanego lina, liczę dalej i wychodzi:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&-2\\0&1&0&2\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

ostatni wiersz to sprzeczność, a więc ten układ wektorów nie jest bazą podanej przestrzeni.

Czy to jest dobrze, jeśli nie jak to rozwiązać?

Bardzo proszę o pomoc.

[yorgin]

W jakim celu tworzysz macierz rozszerzoną? Na czym ma polegać sprzeczność w ostatnim wierszy i skąd wniosek o tym, że to bazą nie jest?

Widać od razu, że \(\displaystyle{ (1,2,3)=\frac{1}{2}(2,4,6)}\) więc wystarczy sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ (0,3,2)}\) jest liniowo zależny od wektorów \(\displaystyle{ (2,4,6), (-2,2,2)}\), co można zrobić szybko licząc wyznacznik odpowiedniej macierzy.

[wizard8912]

Robię to tak:

\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left[ 1,2,3\right] + \beta \cdot \left[ 0,2,3\right] = \left[ 2,4,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left[ 1,2,3\right] + \beta \cdot \left[ 0,2,3\right] = \left[ -2,2,2\right]}\)

Układam w macierz współczynniki przy alfa i beta, dokładam prawe strony powyższych równań i jest macierz rozszerzona, potem z tego

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&-2\\0&1&0&2\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

wychodzi, że dla pierwszego układu \(\displaystyle{ \alpha = 2, \beta =0}\) i dla drugiego układu \(\displaystyle{ \alpha =-2, \beta = 2, 0=2}\) co jest sprzecznością, a więc nie ma rozwiązań dla drugiego układu, więc z podanej bazy nie możemy utworzyć wektora \(\displaystyle{ \left[ -2,2,2\right]}\), a tym bardziej z tej bazy nie utworzę żadnej kombinacji liniowej tego wektora.

To jest takie moje rozumowanie i nie jestem pewien czy jest dobre, bo dopiero się uczę, ale cholera wydaje mi się, że jest ok, a nie jest?

[robertm19]

Masz rację, że drugi układ nie ma rozwiązań. Czyli nie da się wszystkich wektorów przedstawić zapomocą tych dwóch nowych.

[wizard8912]

Czyli krótko; takie rozwiązanie jest ok i odpowiedź dobra?