Nieosobliwe przekształcenie liniowe

[Catiga]

Witam, mam ciekawe zadanko do rozwiązania również z egzaminu Mat I:

Przekształcenie liniowe określone wzorem
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{1}=k( x_{1}-x _{2}) \\ y_{2}=x _{3} \\y _{3}=x _{2} \end{cases}}\)

Jest nieosobliwe dla:
\(\displaystyle{ k \in ...}\)

Z góry dziękuję za pomoc w rozwiązaniu

[Barbara777]

Macierz tego odwzorowania liniowego w standardowych bazach ma postac

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc}k&-k&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)}\)
Teraz wystarczy obliczyc wyznacznik

[Catiga]

Wyznacznik wyszedł -k ale nadal nie wiem co w związku z tym związkiem?

[miodzio1988]

kiedy przeksztalcenie jest nieosobliwe?

[Catiga]

Jest nieosobliwe gdy macierz przekształcenia jest nieosobliwa czyli wyznacznik różny od zera

[miodzio1988]

no to jaki jest dalej problem?

[Catiga]

Ale pytaniem głównym zadania jest dla jakiego przedziału k zachodzi to że przekształcenie jest nieosobliwe. To jeżeli wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -k}\) to przedziałem jest \(\displaystyle{ \left( -\infty;0\right)}\)? (otwarty przedział)?

[miodzio1988]

wyznacznik różny od zera

więc czemu nie może być ujemne \(\displaystyle{ k}\)?

[Catiga]

Trochę pomieszałeś mi w głowie i nie mam pojęcia. Serio

[miodzio1988]

ale czym? ja nie wiem jaki jest problem w zerknięciu na to kiedy wyznacznik jest równy zero. Banalne równanie wtedy rozwiązujesz

[Catiga]

Aaa ok. A jeszcze zapytam - w jaki sposób powstała ta macierz?

[Barbara777]

Ukryta treść:    

Miodzio, dzieki

w jaki sposób powstała ta macierz?

Mozna uzyc definicji macierzy przeksztalcenia w kanonicznej bazie (zero-jedynkowej), tzn kolumny tej macierzy sa obrazami wektorow bazy. Czyli np pierwsza kolumna macierzy \(\displaystyle{ M_L}\)bedzie wygladac tak (\(\displaystyle{ L}\) - dane przeksztalcenie liniowe) :

\(\displaystyle{ Le_1=L\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right)= \left(\begin{array}{c}k(1-0)\\0\\0\end{array} \right)}\)
A mozna tez (bo przeksztalcenie ma taka prosta postac) "zobaczyc", mamy bowiem

\(\displaystyle{ M_L(x_1,x_2,x_3)^T=(k(x_1-x_2),x_3,x_2)^T= (kx_1-kx_2,x_3,x_2)^T}\)

to pomysl, jaka musi byc macierz \(\displaystyle{ M_L}\), zeby po pomnozeniu jej przez wektor \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)^T}\) dostac to, co po prawej w rownaniu wyzej.