Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

Witam
Zadanie z egzaminu Mat I z części teoretyczej

Dla jakich ... macierz jest ortogonalna
\(\displaystyle{ \frac{1}{...} \left[\begin{array}{cc}3&4\\...&...\end{array}\right]}\)

We wrześniu mam poprawkę i warto wiedzieć jak należy to rozwiązać.
Dziękuję za pomoc
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: MakCis »

A jaki warunek muszą spełniać kulumny macierzy ortogonalnej?
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

Wedle def. kolumny (wiersze) macierzy ortogonalnej są wzajemnie prostopadłe
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: MakCis »

No więc zapisz ten warunek korzystając np. z iloczynu skalarnego.
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

to mamy tak:
\(\displaystyle{ \left| 3;a\right| \perp \left| 4;b \right|

(3;a) \circ (4;b)=0

12+ab=0

ab=-12}\)

Chyba nic nie pomieszałem a skoro są prostopadłe wzgl. siebie to musi w iloczynie być zero tu chyba też nic nie pomieszałem
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: MakCis »

A co z wyrażeniem stojącym przed macierzą?
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

\(\displaystyle{ \frac{1}{c} \cdot \left[\begin{array}{cc} 3&4\\a&b \end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc} \frac{3}{c}&\frac{4}{c} \\ \frac{a}{c}& \frac{b}{c}\end{array}\right]}\)

I teraz korzystając z warunku prostopadłości:
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{c} \cdot \frac{4}{c} \right) + \left( \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{c} \right) = 0}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{12}{ c^{2} } + \frac{a \cdot b}{ c^{2} } = 0}\)
Jeżeli to o Tobie chodziło.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: MakCis »

Formalnie teraz jest wszystko ok, choć nie zmieniło to wyniku.
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

wiec jak należy zrobić aby wynik był zmieniony? bo na razie wiele to się do przodu nie posunęliśmy...
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: MakCis »

Ale zadanie masz juz rozwiązane. Odpowiedzią są pary \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ ab=-12}\) oraz \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\).
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: robertm19 »

MakCis pisze:Ale zadanie masz juz rozwiązane. Odpowiedzią są pary \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ ab=-12}\) oraz \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\).
Nie prawda. Macierz ma spełniać \(\displaystyle{ A^TA=AA^T=I}\).
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: Catiga »

finalnie należy podać te cyfry które należy wstawić
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Dla jakich niewiadomych macierz jest ortogonalna

Post autor: robertm19 »

Rozważ mnożenia macierzy \(\displaystyle{ A^TA}\) oraz \(\displaystyle{ AA^T}\) osobno. Warunek jest taki że mają dać macierz jednostkową oba. Z tego wyliczysz \(\displaystyle{ a,b,c}\) dla jednego i drugiego. Potem te trójki które spełniają jednocześnie oba mnożenia sa rozwiązaniem. Wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ a=\pm 4,b=\pm 3,c=\pm 5}\).
ODPOWIEDZ