Zbadaj liniową niezależność wektorów

[qwert16]

Chodzi o wektory

\(\displaystyle{ (i,1+i), (-1,2-i), (0,3) \quad w \quad C^{2}\quad nad \quad C}\)

Zgodnie z definicją niezależności wektorów dla liczb zespolonych (skalarów)

\(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\),\(\displaystyle{ \gamma}\) \(\displaystyle{ \alfa}\)\(\displaystyle{ \in C}\)

z równości \(\displaystyle{ \alpha(i,1+i)+\beta(-1,2-i)+\gamma(0,3)=(0,0)}\)

wektory będą niezależne gdy wszystkie skalary muszą być równe zero
Otrzymujemy układ równań:


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha i-\beta=0\\\alpha+\alpha i+2\beta-\beta i+3\gamma=0\end{cases}}\)

Badamy rząd macierzy

rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}i&-1&0\\1+i&2-i&3\end{array}\right]}\) pierwszy wiersz dzielę przez i

rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&i&0\\1+i&2-i&3\end{array}\right]}\) wiersz pierwszy jest operacyjny więc mnożę go przez liczbę -1-i i dodaję do wiersza drugiego

rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&i&0\\0&3-2i&3\end{array}\right]}\) wiersz drugi dzielę przez 3-2i

rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&i&0\\0&1& \frac{9}{13}+ \frac{6}{13}i\end{array}\right]}\)=2 bo

Minor (wyznacznik) najwyższego stopnia


\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&i\\0&1\end{array}\right|}\)=1 jest różny od zera

Z tw Kroneckera-Capellego wynika że układ jest nieoznaczony (ilość niewiadomych jest różny od rzędu macierzy)

wobec tego układ można zapisać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+\beta i=0\\\beta=-\gamma(\frac{9}{13}+\frac{6}{13}i) \end{cases}}\) czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=-\gamma(\frac{6}{13}-\frac{9}{13}i)\\\beta=-\gamma(\frac{9}{13}+\frac{6}{13}i) \end{cases}}\)

Ewidentnie pokazaliśmy że wektory są liniowo zależne

[szw1710]

Nie sprawdzałem rachunków!!! Jeśli są bezbłędne, to wyraziłeś jeden z wektorów jako kombinację liniową pozostałych. Tak więc są liniowo zależne.

Pytanie dodatkowe: jakie są wymiary przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^2}\) nad a) \(\displaystyle{ \RR}\), b) \(\displaystyle{ \CC}\)? Czy z tego ostatniego nie można czegoś od razu wywnioskować na temat Twojego zadania? A co będzie z zależnością/niezależnością tych wektorów nad \(\displaystyle{ \RR}\)?

[qwert16]

Sympatycznie by było, by ktoś z oglądającej publiczności

odpowiedział na pytania postawione przez sz1710.

Myślę że wnioski byłyby bardzo pouczające.

Ja swoje zadanie do zrobienia zademonstrowałem.

Zapraszam do dyskusji

[yorgin]

Sympatycznie by było, by ktoś z oglądającej publiczności

odpowiedział na pytania postawione przez sz1710.

Sprawdź raz jeszcze pisownię użytkownika, którego cytujesz.

Myślę że wnioski byłyby bardzo pouczające.

Owszem, byłyby. Niemniej sugestią było również, byś to Ty spróbował odpowiedzieć na postawione pytania.

[qwert16]

Z rachunków powyżej wynika że wektory

\(\displaystyle{ (i,1+i), (-1,2-i) \quad}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \quad C^{2}\quad nad \quad C}\) są liniowo niezależne i są bazą tej przestrzeni, bo rozpinają cała przestrzeń.
Każdy wektor tej przestrzeni da sie zapisać za pomocą kombinacji liniowiowej tych wektorów. Wymiar tej przestrzeni = 2


Inaczej jest gdy skalary \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\),\(\displaystyle{ \gamma}\) \(\displaystyle{ \alfa}\)\(\displaystyle{ \in R}\)

Z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=-\gamma(\frac{6}{13}-\frac{9}{13}i)\\\beta=-\gamma(\frac{9}{13}+\frac{6}{13}i) \end{cases}}\)


wynika że nie istnieją liczby rzeczywiste spełniające ten układ. Układ wektorów jest zależny.

[szw1710]

\(\displaystyle{ \CC^2}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) jest dwuwymiarowa i ten fragment masz poprawny. Teraz wykaż, że \(\displaystyle{ \CC^2}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) jest czterowymiarowa. Ten drugi fragment rozumowania masz niepoprawny.

[qwert16]

Poprawiłem moje błędne wnioski.
Wykażę że układ wektorów (1,0), (i,0) (0,i), (0,1) w \(\displaystyle{ \CC^2}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\)
jest liniowo niezależny i układ ten rozpina całą przestrzeń czyli jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \CC^2}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\).
Wybrałem te wektory bo one w \(\displaystyle{ \CC^2}\) są wersorami w płaszczyźnie Gaussa.

Dla \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\),\(\displaystyle{ \gamma}\),\(\displaystyle{ \delta}\) \(\displaystyle{ \alfa}\)\(\displaystyle{ \in\RR}\)

z równości \(\displaystyle{ \alpha(1,0)+\beta(i,0)+\gamma(0,1)+\delta(0,i)=(0,0)}\)

wektory będą niezależne gdy wszystkie skalary muszą być równe zero
Otrzymujemy układ równań:


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +\beta i=0\\\gamma+\delta i=0\end{cases}}\)

Badamy rząd macierzy

rz\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&i&0&0&\\0&0&1&i&\end{array}\right]}\)

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów będących kolumnami.

Rząd=4

Pokazaliśmy że układ wektorów jest liniowo niezależny.

W sposób trywialny mamy że kombinacja liniowa wektorów

\(\displaystyle{ \alpha(1,0)+\beta(i,0)+\gamma(0,1)+\delta(0,i)}\)

dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\),\(\displaystyle{ \gamma}\),\(\displaystyle{ \delta}\) \(\displaystyle{ \alfa}\)\(\displaystyle{ \in\RR}\)

rozpina nam cała przestrzeń \(\displaystyle{ \CC^2}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) .

[szw1710]

Tak jest. Więc widać, że ciało skalarów ma bardzo duże znaczenie. Sprawdź jeszcze liniową niezależność tych trzech wyjściowych wektorów w tej rzeczywistej przestrzeni.

Nad \(\displaystyle{ \CC}\) mieliśmy wymiar dwa, więc od razu, bez żadnych obliczeń, stwierdzamy, że trzy wektory na pewno są liniowo zależne. A nad \(\displaystyle{ \RR}\) może być różnie. Mogą być zarówno niezależne, jak i zależne. Wniosek można wyciągnąć niejako w drugą stronę. Jeśli mianowicie wektory są zależne nad \(\displaystyle{ \RR}\) są też zależne nad \(\displaystyle{ \CC}\) albowiem każda liczba rzeczywista jest też zespolona. Z zależności nad \(\displaystyle{ \CC}\) trudno cokolwiek wnioskować dla przestrzeni rzeczywistej.