Wyznacznik symetrycznej macierzy stopnia N

[JonnySnickers]

Witam,
zadanie, które mam jest po części informatyczne, po części matematyczne. Przydatne będzie każde spostrzeżenie, gdyż niezbyt wiele wiem o własnościach macierzy, zwłaszcza szczególnych przypadkach, jak na przykład macierz symetryczna, która pojawia się w moim zadaniu.

Dla danego \(\displaystyle{ k \in \{2,3,4,5\}}\) oraz \(\displaystyle{ k \le n < 10^{15}}\) należy wyznaczyć wyznacznik macierzy utworzonej w następujący sposób:

Dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{1,2,3,...,n\}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ j \in \{-k,-k+1,...,k-1,k\}}\) w pola \(\displaystyle{ M[i, i+j]}\) oraz \(\displaystyle{ M[i+j, i]}\) wpisz \(\displaystyle{ -1}\), natomiast w \(\displaystyle{ M[i,i]}\) wpisz ilość wpisanych "minus jedynek" podzieloną przez 2.

Przykład dla k = 2:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccccc}2&-1&-1&0&0&0&.&.&0&0\\-1&3&-1&-1&0&0&.&.&0&0\\-1&-1&4&-1&-1&0&.&.&0&0\\0&-1&-1&4&-1&-1&.&.&0&0\\0&0&-1&-1&4&-1&.&.&0&0\\.&.&.&.&.&.&.&.&-1&0\\.&.&.&.&.&.&.&.&-1&-1\\0&0&0&0&0&0&-1&-1&3&-1\\0&0&0&0&0&0&0&-1&-1&2\end{array}\right]}\)

Następnie usuwamy z tej macierzy dowolny wiersz oraz kolumnę, a następnie dla tak otrzymanej macierzy należy policzyć jej wyznacznik.

Jedyną sensowną obserwacje którą udało mi się poczynić, to to, że dla k=2, wartość szukanego wyznacznika to \(\displaystyle{ F(2n-2)}\), gdzie \(\displaystyle{ F(n)}\) to n-ta liczba Fibonacciego.

Rozwiązanie prawdopodobnie ma wiele wspólnego ze znalezieniem dla każdego k pewnego wektora oraz macierzy przejścia, która to podniesiona do potęgi n (lub w jakiś sposób związanej z n) a następnie pomnożona przez wyznaczony wektor da nam poszukiwany wyznacznik.

Z góry dziękuję za każdą pomoc.