Witam proszę o pomoc w wyznaczeniu postaci macierzowej operatora danego wzorem:
\(\displaystyle{ U(t)=exp(i t \sigma_{x}) \ : \ \sigma_{x} = \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)}\)
Jak wyznaczyć operator
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Jak wyznaczyć operator
Zauważ, że \(\displaystyle{ \sigma_x^2 = I}\), tj. kwadrat \(\displaystyle{ \sigma_x}\) jest macierzą jednostkową. Wówczas
\(\displaystyle{ U(t) = e^{it\sigma_x} = I + it\sigma_x + \sum_{k=2}^\infty{(it)^k \over k!}I=it\sigma_x + (e^{it}-it)I.}\)
\(\displaystyle{ U(t) = e^{it\sigma_x} = I + it\sigma_x + \sum_{k=2}^\infty{(it)^k \over k!}I=it\sigma_x + (e^{it}-it)I.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Jak wyznaczyć operator
Spektralny, ale już \(\displaystyle{ \sigma_x^3 = \sigma_x}\), więc w tym szeregu tylko dla parzystych \(\displaystyle{ k}\) pojawi się \(\displaystyle{ I}\).
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
- rezystor
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 28 maja 2009, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 15 razy
Jak wyznaczyć operator
Czy to jest dobra odpowiedź
\(\displaystyle{ exp(i t \sigma_{x}) = cos(t) I + i sin(t) \sigma_{x} = \left(\begin{array}{cc}cos(t)&i sin(t)\\i sin(t)&cos(t)\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ exp(i t \sigma_{x}) = cos(t) I + i sin(t) \sigma_{x} = \left(\begin{array}{cc}cos(t)&i sin(t)\\i sin(t)&cos(t)\end{array}\right)}\)