Przykład macierzy z podanym jądrem i obrazem

[MakCis]

Jak zwykle nie mam żadnej odpowiedzi do poniższego zadania, więc będę wdzięczny za sprawdzenie:

Podać przykład macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) o wyrazach rzeczywistych spełniającej warunki:

1) jądro \(\displaystyle{ N}\) przekształcenia zadanego tą macierzą jest prostą;
2) obraz \(\displaystyle{ R}\) przekształcenia zadanego tą macierzą jest płaszczyzną;
3) Kąt między \(\displaystyle{ N}\) a \(\displaystyle{ R}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\).

Niech
\(\displaystyle{ Ker(A) = N = \left\{ (t,0,0): t \in \mathbb{R} \right\} = lin \left\{ (1,0,0) \right\} \\ Im(f) = lin \left\{ (0,0,1),(1, - \sqrt{3},0) \right\}}\)

Obraz jest zatem płaszczyzną \(\displaystyle{ \sqrt{3} x + y = 0}\). Wektorem normalnym jest \(\displaystyle{ (\sqrt{3},1,0)}\). Łatwo pokazać, że kąt między tym wektorem, a prostą \(\displaystyle{ N}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) zatem kąt miedzy \(\displaystyle{ N}\) a \(\displaystyle{ R}\) musi być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) (zgodnie z treścią zadania).

Przyjmując teraz
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&-\sqrt{3}\\0&1&0\end{bmatrix}}\)
otrzymujemy poszukiwaną macierz o zadanym jądrze i obrazie.

Będę wdzięczny za weryfikacje mojego rozwiązania i wskazanie ewentualnych błędów.

[octahedron]

Wygląda w porządku.