Składanie przekształceń-macierze

[MatManiak45]

Witam Mam problem ze zrozumieniem takiego zadania:

Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie przekształceniem płaszczyzny postaci \(\displaystyle{ L(x,y)=(ax+by, cx+dy)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R}}\). Przekształceniu \(\displaystyle{ L}\) przyporządkowujemy macierz:

\(\displaystyle{ A _{L}= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)

Uzasadnić, że składaniu przekształceń postaci \(\displaystyle{ L}\) odpowiada mnożenie macierzy (tzn. \(\displaystyle{ A_{L\circ K} = A _{L}A _{K}}\)).

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ L \left( x,y \right) = \left( ax+by, cx+dy \right)}\) oraz \(\displaystyle{ K \left( x,y \right) = \left( ex+fy,gx+hy \right)}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ L\circ K= \left( a \left( ex+fy \right) +b \left( gx+hy \right) ,c \left( ex+fy \right) +d \left( gx+hy \right) \right)=\\= \left( \left( ae+bg \right) x+ \left( af+bh \right) y, \left( ce+dg \right) x+ \left( cf+dh \right) y \right)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ A_{L\circ K }=\left[\begin{array}{ccc} ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right]}\)
Porównaj to z wynikiem mnożenia macierzy \(\displaystyle{ A _{L}A _{K}}\).