Macierz z odpowiednią wartością i przestrzenią własną

[MakCis]

Podać przykład macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{2 \times 2}( \mathbb{R})}\) spełniającej równocześnie następujace warunki:

• każdy wektor własny \(\displaystyle{ A}\) leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x + y = 0}\);
• liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest jedyną wartoscią własną macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Pierwsze co mi przyszło na myśl to wzięcie macierzy jednokładności, ale wygląda na to, że wtedy przestrzenią własną jest całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), zatem nie dobrze.

Postanowiłem więc wziąć dowolną macierz \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix}}\).

Jej wielomianem charakterystycznym jest \(\displaystyle{ w(t) = t^2 - (a+d)t + ad - bc}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) jest jedyną wartością własną to musi być \(\displaystyle{ w(t) = t^2-2t+4}\). Stąd, porównując odpowiednie współczynniki mam:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+d=2 \\ ad-bc=4 \end{cases}}\).

Ponadto chcemy aby \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}}\)

stąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-c=2 \\ b-d=-2 \end{cases}}\)

Myślałem, że te dwa układy równań dadzą mi chociaż jakieś jedno rozwiązanie. Niestety, okazuje się, że układ ten jest sprzeczny.

Nie mam już zupełnie pomysłu na to zadanie. Będę wdzięczny za każdą wskazówkę.

[yorgin]

Jej wielomianem charakterystycznym jest \(\displaystyle{ w(t) = t^2 - (a+d)t + ad - bc}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) jest jedyną wartością własną to musi być \(\displaystyle{ w(t) = t^2-2t+4}\).

No raczej \(\displaystyle{ w(t)=(t-2)^2=t^2-4t+4}\) i po tej zmianie układ będzie posiadał rozwiązanie.

[MakCis]

Fakt, strasznie głupi błąd. Dzięki.