Rzutowanie przestrzeni

[IloveMath]

Podprzestrzenie \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3=W_1\oplus W_2}\). Wyrazić analitycznie rzutowanie przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W_1}\) wzdłuż podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_2}\):
a)\(\displaystyle{ W_1=lin([1,0,0],[0,1,1]) \quad W_2=lin([0,7,8])}\)
b)\(\displaystyle{ W_1=x_1-2x_2+4x_3=0 \quad W_2=lin([1,5,2])}\)

wiem tylko, że rzutowanie przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W_1}\) wzdłuż podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_2}\) to funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3 \rightarrow W_1}\) określona na dowolnych \(\displaystyle{ w_1\in W_1}\), \(\displaystyle{ w_2\in W_2}\) wzorem \(\displaystyle{ f(w_1+w_2)=w_1}\)

[robertm19]

Co może oznaczać analitycznie w tym zadaniu?
Może wziąć dowolny \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) i wyznaczyć jego współrzędne.
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\alpha (1,0,0)+\beta (0,1,1)+\gamma (0,7,8)}\)
Potem zapisać funkcje w postaci
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=\alpha (1,0,0)+\beta(0,1,1)}\),

[IloveMath]

dobra, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=x\\
\beta+7\gamma=y\\
\beta+8\gamma=z \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \gamma=z-y\\
\beta=8y-7z}\)
tak?

[robertm19]

Tak.

[IloveMath]

i teraz \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x(1,0,0)+(8y-7z)(0,1,1)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x,0,0)+(0;8y-7z;8y-7z)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x,8y-7z,8y-7z)}\), prawda?

a ten drugi podpunkt?

[robertm19]

Drugi identycznie. Trzeba tylko wyznaczyc wektory generujące podprzestrzeń.
Rozwiązujemy
\(\displaystyle{ *}\) \(\displaystyle{ x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=t}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=s}\)
Więc
\(\displaystyle{ x_{1}=2t-4s}\)
Czyli rozwiązaniem \(\displaystyle{ *}\) są wektory \(\displaystyle{ \{ (2t-4s,t,s): t,s\in R\}}\)
\(\displaystyle{ (2t-4s,t,s)=(2t,t,0)+(-4s,0,s)=t(2,1,0)+s(-4,0,1)}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \{ (2t-4s,t,s): t,s\in R\}=lin\{(2,1,0);(-4,0,1)\}}\)

[smigol]

wiem tylko, że rzutowanie przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ W_1}\) wzdłuż podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_2}\) to funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3 \rightarrow W_1}\) określona na dowolnych \(\displaystyle{ w_1\in W_1}\), \(\displaystyle{ w_2\in W_2}\) wzorem \(\displaystyle{ f(w_1+w_2)=w_1}\)

O ile \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jest sumą prostą przestrzeni \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\).