Przekształcenie liniowe

[IloveMath]

Sprawdzić czy dana funkcja jest przekształceniem liniowym:
a) \(\displaystyle{ \phi:\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X], \quad \phi(f)=f'}\);
b)\(\displaystyle{ \phi:C_{[0,1]} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \phi(f)= \int_{0}^{1} f(x) \mbox{d}x}\).

Znam definicję przekształcenia liniowego, ale nie wiem jak to sprawdzić.

[yorgin]

Masz sprawdzić, czy dla dowolnych \(\displaystyle{ f,g}\) oraz dowolnego \(\displaystyle{ a}\) zachodzą warunki:

\(\displaystyle{ \phi(af)=a\phi(f)}\)

\(\displaystyle{ \phi(f+g)=\phi(f)+\phi(g)}\)

[IloveMath]

Tak, wiem, ale nie wiem jak to zastosować

[robertm19]

Zadanie wynika wprost z własności liniowości całki i pochodnej. Przypomnij sobie na czym to polega i porównaj z tym co napisał yorgin.

[IloveMath]

czyli to będzie tak: \(\displaystyle{ \phi(f+g)=(f+g)'=f'+g'=\phi(f)+\phi(g)}\)
\(\displaystyle{ L=\phi(\alpha f)=(\alpha f)'=\alpha 'f+f'\alpha}\)
\(\displaystyle{ P=\alpha\phi(f)=\alpha(f')}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\) i nie jest przekształceniem liniowym, tak?

[robertm19]

\(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą rzeczywistą, stałą a nie funkcją. W tym drugim warunku pochodna stałej to 0.
Ogólnie zachodzi \(\displaystyle{ (af)'=af'}\) i nie trzeba korzystać ze wzoru na pochodna sumy.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \RR[X]}\) jest liniową przestrzenią nad \(\displaystyle{ \RR}\), więc skalary powinny być brane z \(\displaystyle{ \RR}\) na co już słusznie zwrócił uwagę robertm19.

Tak, wiem, ale nie wiem jak to zastosować

Z reguły wystarczy podstawić jedną definicję do drugiej.