Przekrój podprzestrzeni liniowych

[MakCis]

Czy istnieją trzy dwuwymiarowe liniowe podprzestrzenie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), takie że przekrój każdych dwóch z nich jest podprzestrzenią zerową? Podaj przykład takich trzech podprzestrzeni lub udowodnij, że takie podprzestrzenie nie istnieją.

Wybrałem następujące podprzestrzenie:

\(\displaystyle{ S_1 = \left\{ (a,b,0,0): a,b \in \mathbb{R} \right\} \\ S_2 = \left\{ (0,0,a,b): a,b \in \mathbb{R} \right\} \\ S_3 = \left\{ (2a+b,a,0,0): a,b \in \mathbb{R} \right\}}\)

Wygląda na to, że przekrój każdej z nich daje \(\displaystyle{ \left\{ (0,0,0) \right\}}\). Ponieważ jednak nie mam żadnej przykładowej odpowiedzi do tego zadania, to bardzo proszę o weryfikację.

[robertm19]

Przekrój 1 i 3 nie daje zerowej przestrzeni. Są identyczne.

[yorgin]

W powyższym zadaniu można wskazać nawet więcej niż zakłada się (ciekawy problem - ile maksymalnie?), ale ograniczmy się do trzech.

Pierwsze dwie podprzestrzenie mogą pozostać. Trzecią trzeba trochę zmodyfikować.

Wskazówką niech będzie taki zapis:

\(\displaystyle{ S_1=\mbox{lin}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}\\
S_2=\mbox{lin}\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}}\)

[MakCis]

Przekrój 1 i 3 nie daje zerowej przestrzeni. Są identyczne.

A jak to zauważyć? Chodzi o to, że obie są generowane przez \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}}\) ?

Czy zatem może być np. \(\displaystyle{ S_3 = \mbox{lin}\{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}}\). Z tego co rozumiem, ta podprzestrzeń jest różna od dwóch poprzednich i w przekroju z nimi daje wektor zerowy.

[yorgin]

A jak to zauważyć? Chodzi o to, że obie są generowane przez \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}}\) ?

Pierwsza jest generowana przez wektory \(\displaystyle{ \{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}}\), natomiast trzecia przez \(\displaystyle{ \{(2,1,0,0),(1,0,0,0)\}}\) ale są układy takie, że w każdym każdy jest wektor liniowo zależny z wektorami z drugiego układu.

Czy zatem może być np. \(\displaystyle{ S_3 = \mbox{lin}\{(0,1,0,0),(0,0,1,0)\}}\). Z tego co rozumiem, ta podprzestrzeń jest różna od dwóch poprzednich i w przekroju z nimi daje wektor zerowy.

Nie, gdyż wtedy \(\displaystyle{ S_3\cap S_1 = \mbox{lin}\{(0,1,0,0)\}}\) oraz \(\displaystyle{ S_3\cap S_2 = \mbox{lin}\{(0,0,1,0)\}}\) co łatwo widać, gdyż mają wspólny wektor bazowy.

Ukryta treść:    

Mała podpowiedź:

Układ \(\displaystyle{ \{(1,1,1),(1,1,0)\}}\) generuje płaszczyznę w \(\displaystyle{ \RR^3}\). Jakie są współrzędne wektorów bazowych?

[robertm19]

Takie chyba działają (do sprawdzenia, bo najpierw dwie godziny próbowałem udowodnić, że się nie da )
\(\displaystyle{ S_{1}=lin\{(1,0,0,0);(0,1,0,0)\}}\)
\(\displaystyle{ S_{2}=lin\{(0,0,1,0);(0,0,0,1)\}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}=lin\{(0,1,1,0);(1,0,0,1)\}}\)

[MakCis]

yorgin, rozumiem już dlaczego mój przykład był zły, ale nie mam pojęcia jak skorzystać z twojej wskazówki. Trochę jej nie rozumiem, bo szukamy płaszczyzn w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), zaś wskazany przez Ciebie układ generuje podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Wygląda na to, że czegoś nie widzę.-- 13 lipca 2013, 22:57 --robertm19, wygląda na to, że jest ok, ale wolałbym jakoś samemu do tego dojść .

[yorgin]

Takie chyba działają (do sprawdzenia, bo najpierw dwie godziny próbowałem udowodnić, że się nie da )
\(\displaystyle{ S_{1}=lin\{(1,0,0,0);(0,1,0,0)\}}\)
\(\displaystyle{ S_{2}=lin\{(0,0,1,0);(0,0,0,1)\}}\)
\(\displaystyle{ S_{3}=lin\{(0,1,1,0);(1,0,0,1)\}}\)

Jest ok.

dwie godziny próbowałem udowodnić, że się nie da )

Intuicja zawodzi w wyższych wymiarach zwłaszcza, gdy nie da się tego narysować

yorgin, rozumiem już dlaczego mój przykład był zły, ale nie mam pojęcia jak skorzystać z twojej wskazówki. Trochę jej nie rozumiem, bo szukamy płaszczyzn w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), zaś wskazany przez Ciebie układ generuje podprzestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Wygląda na to, że czegoś nie widzę.
.

Chodziło mi o to, że generowanie przestrzeni dwuwymiarowej nie musi odbywać się za pomocą wektorów mających tylko jedną niezerową współrzędną. Albo dwie niezerowe. Każde dwa liniowo niezależne wektory o dowolnych współrzędnych dają dwuwymiarową przestrzeń. Stąd można dopisywać jedynki do wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ S_1, S_2}\) by dostać nowe podprzestrzenie o trywialnym przekroju. Albo można przekształcać jedną współrzędną wektora na inną. By to lepiej zobaczyć na banalnym przykładzie, rozważ sobie na przykład zbiór wektorów postaci \(\displaystyle{ (\cos t,\sin t)}\) dla \(\displaystyle{ t\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\). Można łatwo pokazać, że każde dwa będą liniowo niezależne, ale jest ich nieprzeliczalnie wiele. I to w płaskim przypadku. Boję się zaryzykować, że w \(\displaystyle{ \RR^4}\) jest nieprzeliczalnie wiele płaszczyzn spełniających warunki zadania.

[Kamaz]

Boję się zaryzykować, że w \(\displaystyle{ \RR^4}\) jest nieprzeliczalnie wiele płaszczyzn spełniających warunki zadania.

Proszę się nie bać. Oto proste uogólnienie Pańskiego dwuwymiarowego przykładu: \(\displaystyle{ S_t=\mathrm{lin}\{(\cos t, \sin t, 0, 0), (0, 0, \cos t, \sin t)\}}\)

[MakCis]

A jak to zadanie mogłoby wyglądać w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ? Chodzi mi o to, ile jest płaszczyzn, których przekrój jest tylko punktem zerowym? Czy takich płaszczyzn nie ma w ogóle, gdyż w wyniku przekroju dwóch płaszczyzn dostaniemy prostą (ewentualnie zbiór pusty lub tę samą płaszczyznę) ?

[yorgin]

MakCis, każde dwie płaszczyzny w \(\displaystyle{ \RR^3}\) są albo równe, albo równoległe, albo przecinają się wzdłuż pewnej prostej. Punktu nie dostaniemy.