Dzielenie wielomianów zespolonych

[Grecza]

1. Wielomian \(\displaystyle{ S(z) = z^{4} - 5z^{3} + 7z^{2} + 12z - 40}\) przedstawić jako iloczyn nierozkładalnych czynników rzeczywistych, jeżeli wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ z_{1} = 2 - 2i}\) jest jego pierwiastkiem.

2. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(z)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ z + i}\) jest równa \(\displaystyle{ 3}\), a reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ z - 3i}\) jest równa \(\displaystyle{ -1}\). Wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ w(z)}\) przez \(\displaystyle{ (z + i)(z - 3i)}\).

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu

[szw1710]

ad 1. Jest takie twierdzenie, że mając wielomian o współczynnikach rzeczywistych i jego pierwiastek zespolony, sprzężenie też jest pierwiastkiem. Pomnóż więc \(\displaystyle{ (z-z_1)(z-\overline{z_1})}\), zobacz co dostaniesz i podziel przez ten iloczyn

Prawie gotowca dałem.

[piasek101]

2) \(\displaystyle{ w(z)=Q(z)(z+i)(z-3i)+az+b}\)

a \(\displaystyle{ w(-i)}\) oraz \(\displaystyle{ w(3i)}\) znamy.

[Grecza]

ad 1. Jest takie twierdzenie, że mając wielomian o współczynnikach rzeczywistych i jego pierwiastek zespolony, sprzężenie też jest pierwiastkiem. Pomnóż więc \(\displaystyle{ (z-z_1)(z-\overline{z_1})}\), zobacz co dostaniesz i podziel przez ten iloczyn

Prawie gotowca dałem.

Bardzo dziękuję
Skoro mam przedstawić ten wielomian w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych to będzie to wyglądało tak: \(\displaystyle{ (2 - 2i)}\) \(\displaystyle{ (z^{2} - z - 5)}\).
Czy powinnam coś jeszcze zrobić z tym nawiasem: \(\displaystyle{ (z^{2} - z - 5)}\) ?

[piasek101]

Nie. Byl wielomian czwartego stopnia + a Ty go nie masz.

[Grecza]

2) \(\displaystyle{ w(z)=Q(z)(z+i)(z-3i)+az+b}\)

a \(\displaystyle{ w(-i)}\) oraz \(\displaystyle{ w(3i)}\) znamy.

Nie za bardzo rozumiem, jak mam to rozwiązać. Mnożę te dwa składniki przez sprzężenie, czy w jaki sposób to robię? Bardzo proszę o dokładniejsze wyjaśnienie.

[piasek101]

\(\displaystyle{ w(-i)=3}\) oraz \(\displaystyle{ w(3i)=-1}\) (to przetłumaczenie treści o tych resztach)

w poprzednim podałem postać \(\displaystyle{ w(z)}\) z jakiej to możesz też liczyć.

Szukana reszta jest postaci \(\displaystyle{ r(z)=az+b}\)