Wektory i wartości własne przekształcenia liniowego

[dawid123784]

Znaleźć wektory i wartości własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: R^3 \to R^3}\), które jest rzutem prostokątnym na prostą:


\(\displaystyle{ l:\begin{cases} x=-t,\\y=2t,\\z=2t,\end{cases}}\)

[lukasz1804]

Wyznaczmy najpierw wzór przekształcenia \(\displaystyle{ L}\).
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ (u,v,w)\in\RR^3}\). Punkt \(\displaystyle{ L(u,v,w)}\) to taki punkt prostej \(\displaystyle{ l}\), który leży w najkrótszej odległości od punktu \(\displaystyle{ (u,v,w)}\). Odległość ta jest najmniejsza dokładnie wtedy, gdy jej kwadrat jest najmniejszy.
Każdy punkt prostej \(\displaystyle{ l}\) jest wyznaczony jednoznacznie przez wartość parametru \(\displaystyle{ t\in\RR}\), ma on współrzędne \(\displaystyle{ (-t,2t,2t)}\).
Zatem kwadrat odległości punktów \(\displaystyle{ (u,v,w), (-t,2t,2t)}\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ (u+t)^2+(v-2t)^2+(w-2t)^2=9t^2+2(u-2v-2w)t+u^2+v^2+w^2}\),

więc jest to funkcja kwadratowa zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Najmniejszą wartość osiąga ona dla odciętej równej \(\displaystyle{ t_0=\frac{2v+2w-u}{9}}\). Znaleziona wartość posłuży nam teraz do podania wzoru przekształcenia \(\displaystyle{ L}\):

\(\displaystyle{ L(u,v,w)=\left(\frac{u-2v-2w}{9},\frac{4v+4w-2u}{9},\frac{4v+4w-2u}{9}\right)}\).

Wyznaczenie wartości i wektorów własnych \(\displaystyle{ L}\) pozostawiam Tobie jako łatwe ćwiczenie. Najtrudniejszą częścią zadania było, moim zdaniem, wyznaczenie wzoru \(\displaystyle{ L}\).