niezrozumiały dowód - istnienie wektora prostopadłego

[butterfly1]

Mamy rzeczywistą przestrzen unitarną \(\displaystyle{ X}\), t. że \(\displaystyle{ dim X \ge 2}\). Jeśli P jest dwuwymiarową podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ x \in P \ i \ \lambda \in \mathbb{R_{+}}}\), to istnieje taki wektor \(\displaystyle{ y \in P}\), że \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle=0 \ i \ \left\langle x+y,\lambda x-y \right\rangle=0}\)

Mam do tego dowód:
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie dwuwymairową podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\) oraz niech \(\displaystyle{ x \in P}\) i \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R_{+}}}\).
Określamy odwzorowanie \(\displaystyle{ p: P \to \mathbb{R}}\) wzorem:
\(\displaystyle{ p(z)=\left\langle x,z\right\rangle , \ z \in P.}\)
\(\displaystyle{ p}\) jest funkcjonałem liniowym. Ze wzoru na wymiar jadra odwzorowania liniowego określonego na skończenie wymaiarowej przestrzeni wektorowej, \(\displaystyle{ dim\ ker \ p=1}\), więc \(\displaystyle{ ker \ p \neq \emptyset}\). Weżmy wektor \(\displaystyle{ y_{0} \in P \backslash \left\{ 0\right\}}\) i przyjmijmy \(\displaystyle{ y= \frac{\sqrt{\lambda} \parallel x \parallel}{\parallel y_{0} \parallel}y_{0}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\langle x,y_{0}\right\rangle =0}\) i wobec tego \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle =0}\). I łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ \left\langle x+y,\lambda x-y \right\rangle=0}\)

Moje pytanie skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \left\langle x,y_{0}\right\rangle =0}\). Z czego to wynika? Proszę o dokładne wytłumaczenie.

[Barbara777]

Bo tam nie ma byc \(\displaystyle{ y_0\in P\setminus\{0\}}\), a pewnie \(\displaystyle{ \textrm{ker}\, p\setminus\{0\}}\)