Przekształcenia liniowe i macierze - dowód izomorfizmu.

[mlody3k]

Witam.
Poszukuję jakiegoś ładnie przeprowadzonego dowodu, że przyporządkowanie każdemu odwzorowaniu liniowemu jego macierzy jest izomorfizmem. Dowód który znalazłem w książce T. Koźniewskiego Wykłady z algebry liniowej jest niezbyt dla mnie oczywisty.
\(\displaystyle{ M(\varphi)^{\alpha}_{\beta}}\) - oznaczenie macierzy odwzorowania \(\displaystyle{ \varphi\in L(V,W)}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)}\) jest bazą w \(\displaystyle{ V}\) a \(\displaystyle{ \beta=(\beta_1,...,\beta_m)}\) jest bazą w \(\displaystyle{ W}\)

I dowód polega na pokazaniu liniowości:
\(\displaystyle{ M(c\varphi+d\psi)^{\alpha}_{\beta} = c M(\varphi)^{\alpha}_{\beta}+d M(\psi)^{\alpha}_{\beta}}\) - wynika z operacji na macierzach, oczywiste

I dodane jest zdanie: Ponadto każde przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow W}\) jest zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie, to znaczy przez \(\displaystyle{ \varphi(\alpha_1),...,\varphi(\alpha_n)}\) (?). Stąd odwzorowanie przyporządkowujące odwzorowaniom ich macierze jest bijekcją.

Ktoś może to jakoś przybliżyć? A może jest jakiś "fajniejszy" dowód?

[smigol]

Spójrz na stwierdzenie 4.2. Jest tam udowodnione to co pogrubiłeś. Chyba ciężko to istotnie inny dowód - to zwykłe zabawy z definicjami.