Moje rozwiązanie jest takie:1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^3}\) będzie przekształceniem liniowym i niech macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej będzie następująca:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&-1&1\\0&1&-1\end{array}\right]}\)
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ b_{1} = (1, 1, 1)}\), \(\displaystyle{ b_{2} = (1, 2, 1)}\), \(\displaystyle{ b_{3} = (0, 1, 1)}\).
\(\displaystyle{ [1, 2, 0] = \alpha[1, 1, 1] + \beta[1, 2, 1 ] + \gamma[0, 1, 1]}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań wychodzi mi: \(\displaystyle{ \alpha = -1}\), \(\displaystyle{ \beta = 2}\), \(\displaystyle{ \gamma = -1}\)
\(\displaystyle{ [2, -1, 1] = \alpha[1, 1, 1] + \beta[1, 2, 1 ] + \gamma[0, 1, 1]}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań wychodzi mi: \(\displaystyle{ \alpha = 4}\), \(\displaystyle{ \beta = -2}\), \(\displaystyle{ \gamma = -1}\)
\(\displaystyle{ [0, 1, -1] = \alpha[1, 1, 1] + \beta[1, 2, 1 ] + \gamma[0, 1, 1]}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań wychodzi mi: \(\displaystyle{ \alpha = -2}\), \(\displaystyle{ \beta = 2}\), \(\displaystyle{ \gamma = -1}\)
Czyli macierz tego przekształcenia w tych bazach wychodzi mi taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2&-1\\4&-2&-1\\-2&2&-1\end{array}\right]}\)
Zapisuję coś takiego:2. Wiemy, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4}\) jest przekształceniem liniowym i:
\(\displaystyle{ f(1, 1, 1) = (1, -1, 0, 2)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 1, 2) = (2, 0, 3, 1)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 2, 3) = (-1, 0, 1, -1)}\)
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach kanonicznych.
\(\displaystyle{ [1, -1, 0, 2] = \alpha[1, 0, 0, 0] + \beta[0, 1, 0, 0] + \gamma[0, 0, 1, 0] + \delta[0, 0, 0, 1]}\) (czyli \(\displaystyle{ \alpha = 1}\), \(\displaystyle{ \beta = -1}\), \(\displaystyle{ \gamma = 0}\), \(\displaystyle{ \delta = 2}\))
\(\displaystyle{ [2, 0, 3, 1] = \alpha[1, 0, 0, 0] + \beta[0, 1, 0, 0] + \gamma[0, 0, 1, 0] + \delta[0, 0, 0, 1]}\) (czyli \(\displaystyle{ \alpha = 2}\), \(\displaystyle{ \beta = 0}\), \(\displaystyle{ \gamma = 3}\), \(\displaystyle{ \delta = 1}\))
\(\displaystyle{ [-1, 0, 1, -1] = \alpha[1, 0, 0, 0] + \beta[0, 1, 0, 0] + \gamma[0, 0, 1, 0] + \delta[0, 0, 0, 1]}\) (czyli \(\displaystyle{ \alpha = -1}\), \(\displaystyle{ \beta = 0}\), \(\displaystyle{ \gamma = 1}\), \(\displaystyle{ \delta = -1}\))
Czyli macierz przekształcenia w bazach kanonicznych wychodzi mi taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&2\\2&0&3&1\\-1&0&1&-1\end{array}\right]}\)
Tylko wydaje mi się, że to zadanie byłoby za proste gdyby tak miała wyglądać odpowiedź ponieważ nic tu nie trzeba liczyć.
