Dopełnienie ortogonalne

[KowalSycow]

W przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2} (R)}\) z iloczynem skalarnym danym wzorem \(\displaystyle{ \left\langle A,B\right\rangle =tr(AB ^{T})}\) znaleźć dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\) podprzestrzeni
\(\displaystyle{ W=\left\{ \begin{bmatrix} 2a & a-b\\ 2b & a+b\end{bmatrix}:a,b \subseteq R \right\}}\). Prosiłbym raczej o całe rozwiązanie

[bartek118]

Podstaw macierz z \(\displaystyle{ W}\) do wzoru na iloczyn skalarny i znajdź macierze takie, aby wynosił on 0.

[KowalSycow]

no to przemnożyłem te 2 macierze \(\displaystyle{ tr(A B^{T})= \begin{bmatrix} 2a&a-b\\2b&a+b&\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4a^{2}+ (a-b)^{2} &4ab+(a^{2}-b^{2})\\4ab+(a^{2}-b^{2})&4a^{2}+ (a+b)^{2}\end{bmatrix}}\) no to ślad wynosi \(\displaystyle{ tr=(4a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+4b^{2}+2ab+b^{2})=tr(6a^{2}+6b^{2})}\) i co dalej z tym ? jesli oczywiscie to jest dobrze

[bartek118]

Jako macierz \(\displaystyle{ A}\) podstaw macierz z \(\displaystyle{ W}\), \(\displaystyle{ B}\) niech będzie dowolna. Potem przyrównaj to do zera.