bazy i jądro

[KowalSycow]

Wyznaczyć bazy jądra i obrazu operatora liniowego \(\displaystyle{ T \subseteq L(R _{2} [x])}\) danego wzrorem:
\(\displaystyle{ (Tq)(x)=q(3x)-3xq'(x).}\)
Podać macierz operatora \(\displaystyle{ T}\) w bazie standardowej przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2} [x]}\) oraz (nie wyliczająć wielomiany charakterystycznego) jego wartości własne.

[robertm19]

Jaka jest definicja jądra?

[KowalSycow]

Poprawiłem.

[robertm19]

No to licz z definicji.
\(\displaystyle{ Ker T=\{q(x):Tq(x)=0 \forall x\}}\)

[KowalSycow]

Znam definicje jądra, ale nie wiem jak za to sie zabrać.

[robertm19]

Masz przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 2.
Dowolny wielomian ma postać:
\(\displaystyle{ q(x)=ax^2+bx+c}\)
Przekształcamy wielomian przez T
\(\displaystyle{ Tq(x)=a(3x)^2+b3x+c-3x(2ax+b)}\)
Przyrównaj do 0 i oblicz a,b,c.

[KowalSycow]

wychodzi mi ze \(\displaystyle{ c=-3 x^{2} a}\) i co dalej ?

[robertm19]

Jeżeli x jest dowolny, to kiedy obie strony mogą być równe?

[KowalSycow]

jak a i c równe są zero ?

[robertm19]

Tak, czyli \(\displaystyle{ a=0,c=0}\) na \(\displaystyle{ b}\) nie było po drodze żadnego warunku więc jest dowolne. Co prowadzi do rozwiązania \(\displaystyle{ KerT=\{bx:b\in R\}}\)

[KowalSycow]

a obraz tego operatora ?

[robertm19]

Przekształcając q przez T otrzymałeś
\(\displaystyle{ 3ax^2+c}\) czyli obrazem są wielomiany generwoane prze \(\displaystyle{ \{1,3x^2\}}\)

[KowalSycow]

Dziękuje za pomoc.