Bilety na koncert a macierz

[GDynadal]

Witam wszystkich forumowiczów, fanów matematyki (czuje się tutaj nieswojo he he), mam wielki problem nad którym głowie się juz od kilku godzin. Otóż próbuje rozwiązać takie oto zadanie:

Na koncert przeznaczone jest 2900 biletów w cenach 20, 50 i 80 zł. Biletów po 20 zł jest 4 razy więcej niż biletów po 80 zł. Dochód ze sprzedaży wszystkich biletów ma wynieść 100 000 zł. Ile biletów w każdej cenie trzeba sprzedać? Ułóż odpowiedni układ równań i rozwiąż zadanie metodą Gaussa.

No i wydaje mi się. że jedno równanie na pewno będzie \(\displaystyle{ 20x + 50y + 80z = 100 000.}\)
A co dalej? Próbowałem różnie, \(\displaystyle{ 4x=z}\) itd ale nie moge temu podołać...
Oczywiście po swojemu doszedłem do prawidłowych wyników (tj. \(\displaystyle{ 2000x, 400y, 500z}\)), ale nie potrafie tego rozwiązać "po ludzku"

z góry dziękuje za wszelką pomoc,
pozdrawiam, Romek.

[El Sajmono]

Zauważ, że suma wszystkich biletów musi dać 2900 a tych po 20zł jest 4 razy więcej niż tych po 80zł...
będziesz miał drugie równanie.

[GDynadal]

Zauważyłem to, uwierz

Tylko czy dobrze napisałem równanie?

\(\displaystyle{ x + y + 4x = 2900 \\
5x + y = 2900}\)
?

[El Sajmono]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 20x + 50y + 80z = 100000 \\ x+y+z=2900 \\ x=4z\end{cases}}\)

-- 21 cze 2013, o 15:35 --

Nie, bo z założenia, skoro biletów po 20zł jest 4 razy więcej niż tych po 80zł, to oznaczając za \(\displaystyle{ x}\) liczbę biletów po 20zł a za \(\displaystyle{ z}\) liczbę biletów po 80zł mamy oczywiście, że \(\displaystyle{ x>z}\), zatem aby nierówność się "zrównała" musimy pomnożyć liczbę mniejszą w tym przypadku \(\displaystyle{ z}\) razy 4. (powiększyć ją odpowiednio do tej większej)

edit: widzę, że ten problem nieaktualny już

[GDynadal]

Wyszło w końcu, dziękuje bardzo! Tylko jeszcze maleńka prośba:
Czy mógłbyś wytłumaczyć mi (jak osobie ułomnej (matematycznie ) dlaczego \(\displaystyle{ x = 4z}\) a nie odwrotnie ?

[Vether]

\(\displaystyle{ z}\) - bilety po osiemdziesiąt
\(\displaystyle{ x}\) - bilety po dwadzieścia

Biletów po dwadzieścia jest cztery razy więcej niż tych po osiemdziesiąt, więc jest ich \(\displaystyle{ 4z}\). Zatem \(\displaystyle{ x=4z}\).

[GDynadal]

Dobra wszystko już rozumiem, nie wiem co mi się zaprogramowało na to \(\displaystyle{ 4x = z}\).

WSTYD! No ale kto pyta, nie błądzi więc jeszcze raz wszystkim dziekuje