Równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny

[myszka9]

Napisz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(-1,5,7)}\) i równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 2X-Y+5Z-1=0}\)

RÓWNANIE PARAMETRYCZNE :

Skoro musi przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ P}\) , to

\(\displaystyle{ pi : P + lin ( [}\) \(\displaystyle{ ], [}\) \(\displaystyle{ ] )}\)

Co powinnam dać w lin?
Rozwiązanie układu równań?

RÓWNANIE OGÓLNE :

Z postaci parametrycznej, czy da się szybciej?
Takie pytanie jeszcze jak wyjdzie mi coś takiego :

\(\displaystyle{ ax+by+cz+d=0}\)
Gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \RR}\) to pomijam d w zapisie równania ogólnego?

[robertm19]

Wydaje mi się, że możesz odczytać wektor normalny płaszczyzny którą już masz. Nowa płaszczyzna będzie równoległa gdy będzie miała ten sam wektor normalny lub o przeciwnym zwrocie.

[lukequaint]

W \(\displaystyle{ lin}\) powinny się znaleźć wektory rozpinające tę pierwszą płaszczyznę. Możesz je wyliczyć, wybierając z niej dowolne trzy niewspółliniowe punkty.

Równanie ogólne możesz otrzymać z tego pierwszego, jak napisał robertm19.

[myszka9]

RÓWNANIE OGÓLNE :

\(\displaystyle{ 2X-Y+5Z=1}\) ?

Niewspółliniowe punkty?

[lukequaint]

Nie do końca, bo po podstawieniu punktu \(\displaystyle{ P}\) otrzymasz:
\(\displaystyle{ 2\cdot(-1)-5+5\cdot7=-2-5+35=28 \neq 1}\)

Wektor normalny (tzn. prostopadły) płaszczyzny przyjmujesz ten sam, ale musisz dopasować jej położenie, by przechodziła przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Tzn. podstawiasz współrzędne punktu do równania \(\displaystyle{ 2x - y + 5z = c}\) i wyliczasz \(\displaystyle{ c}\). W tym przypadku jest równe \(\displaystyle{ 28}\).

Niewspółliniowe różne punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) danej płaszczyzny, tzn. takie żeby z dwóch wektorów, które otrzymasz (np. \(\displaystyle{ A - B}\) i \(\displaystyle{ C - B}\)), jeden nie był wielokrotnością drugiego.

[myszka9]

\(\displaystyle{ c=38}\) ? a nie \(\displaystyle{ 28}\) chyba..

-- 18 cze 2013, o 12:50 --

RÓWNANIE PARAMTERYCZNE :

\(\displaystyle{ 2x-y+5z=1}\)

A więc : \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} , 0 , 0 \right) + lin \left( \left[ \frac{1}{2} ,1 ,0 \right] , \left[ \frac{-5}{2},0,1 \right] \right)}\)

Lin płaszczyzny zawsze jest 1 w RR^3 chyba.. więc to koniec?

[lukequaint]

Myślę, że jednak \(\displaystyle{ c=28}\), spójrz na obliczenia - nie widzę błędu. \(\displaystyle{ 38}\) wyszło Ci prawdopodobnie dlatego, że podstawiłaś współrzędne wektora normalnego, a nie punktu. Ta płaszczyzna ma przechodzić przez \(\displaystyle{ P=\left(\begin{array}{c}-1\\5\\7\end{array}\right)}\) czy \(\displaystyle{ P=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)}\)? Bo tutaj:

A więc : \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} , 0 , 0 \right)}\)...

jest raczej błąd.

Wektory rozpinające płaszczyznę są w porządku i po poprawieniu powyższego to będzie koniec. A co do otoczki liniowej... jeżeli pytasz, czy płaszczyznę mogą rozpinać tylko dwa konkretne wektory, to nie - można znaleźć nieskończenie wiele takich par (muszą być liniowo niezależne), np.:
\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}
{c}
1\\
2\\
0
\end{array}
\right)
,
\left(
\begin{array}
{c}
3\\
1\\
-1
\end{array}
\right)}\) też rozpinają tę płaszczyznę.