Eksponenta macierzy

[KaRa_]

Hej, czy mógłby mi ktos napisac jak wykazać że
\(\displaystyle{ \exp (A+B)=\exp A \exp B}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B}\)-macierze i \(\displaystyle{ AB=BA}\)
\(\displaystyle{ \exp (A)= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{A^{k} }{k!}}\)
Z góry dziękuje:)

[Spektralny]

Mamy

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \right) \cdot \left(\sum_{m=0}^\infty \frac{B^m}{m!} \right) = \sum_{k,m=0}^\infty \frac{A^kB^m}{k!m!} = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{C_\ell}{\ell !},}\)

gdzie \(\displaystyle{ C_\ell}\) jest zwykłym iloczynem Cauchy'ego, tj.

\(\displaystyle{ C_\ell = \sum_{j+k=\ell}\frac{\ell !}{j!\cdot k!} A^{n-k} B^k.}\)

Ponieważ macierze \(\displaystyle{ A, B}\) komutują, zachodzi zwykły wzór Newtona

\(\displaystyle{ (A + B)^n = \binom{n}{0}A^n + \binom{n}{1} A^{n-1}B + \binom{n}{2} A^{n-2}B^2 + \binom{n}{3}A^{n-3}B^3 + \dots + \binom{n}{n}B^n.}\)

Czyli \(\displaystyle{ (A+B)^\ell = C_\ell}\). \(\displaystyle{ \square}\)

Powyżej komutujące macierze możesz zastąpić przez komutujące elementy dowolnej algebry Banacha za jedynką.