Baza i wymiar przestrzeni macierz

[janusz19]

Witam,
Mam problem ponieważ nie mogę dojść do tego jak to rozwiązać:

Polecenie:

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni:
\(\displaystyle{ \left\{ A \in M_{3x3} : A^{T} + A = \theta \right\}}\)

Próbuję to robić w ten sposób:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & j \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2a & b+d & g+c \\ b+d & 2e & h+f \\ c+g & f+h & 2j \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 0 \\ e = 0 \\ j = 0 \\ b+d = 0 \\ g+c = 0 \\ h+f = 0 \end{cases}}\)

Dobrze kombinuję czy raczej nie bardzo?

[pyzol]

Jeśli \(\displaystyle{ \theta}\) oznacza macierz zerową to tak.
Jako bazę możemy wziąć:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & -1 & 0\\ 1& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\)

[janusz19]

Ok już rozumiem, i wtedy wymiar tej przestrzeni jest 3 bo rozpinają ją te 3 macierze.
Dziękuję bardzo za odpowiedź!