Rozwiąż nierówność

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Fisher90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 324
Rejestracja: 13 lut 2010, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 151 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Fisher90 »

Witam.
Mam do obliczenia nierówność: \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}\sin x&0\\1&\cos x\end{array}\right|<0}\)
Proszę o wskazówki, jak rozwiązać to zadanie.

Odpowiedź z podręcznika: \(\displaystyle{ x \in ((k+ \frac{1}{2} )\pi, (k+1)\pi)}\)

Dotychczasowy tok obliczeń:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x-1<0}\)
Co dalej?
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1897
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 512 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: mdd »

Jak na obecną późną porę i jak na mój nos to:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}\sin x&0\\1&\cos x\end{array}\right|=\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin\left( 2x\right)}\)

... czyli:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin\left( 2x\right)<0}\)
mateus_cncc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 430
Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 54 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: mateus_cncc »

może \(\displaystyle{ \sin x\cos x= \frac{1}{2} \sin 2x}\)
Ostatnio zmieniony 16 cze 2013, o 09:37 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Fisher90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 324
Rejestracja: 13 lut 2010, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 151 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Fisher90 »

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x}\) otrzymano ze wzoru: \(\displaystyle{ \sin (x) \cdot \cos (x)=\frac{\sin (x-x)+\sin (x+x)}{2}}\)? Czy może jakiegoś innego, łatwiejszego?

Mając już tą nierówność: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x<0}\), co powinienem dalej zrobić, bo nadal nie wiem, jak dojść do tego wyniku z odpowiedzi. Jakaś sugestia, podpowiedź?
Ostatnio zmieniony 16 cze 2013, o 09:38 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1897
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 512 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: mdd »

Fisher90 pisze:Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} sin2x}\) otrzymano ze wzoru: \(\displaystyle{ sin(x) \cdot cos(x)=\frac{sin(x-x)+sin(x+x)}{2}}\)? Czy może jakiegoś innego, łatwiejszego?
Można i tak do tego podejść Jednak wzór:

\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x = \sin\left( 2x\right)}\)

na tyle często się przydaje, że też możesz go "wykuć na blachę". Ale rzeczywiście jest on tylko szczególnym przypadkiem pierwszego.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin\left( 2x\right)<0 \Rightarrow \sin\left( 2x\right)<0}\)

Teraz trzeba się zastanowić, w których punktach wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x)}\) przecina oś \(\displaystyle{ x}\).

Ma to miejsce dla:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ldots,-3 \pi ,- \pi ,\pi , 3 \pi , 5 \pi, \ldots\\\ldots,-4 \pi ,-2 \pi ,2 \pi, 4 \pi , 6 \pi, \ldots \end{cases}}\)

a więc ogólnie można zapisać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( 2k+ 1\right) \pi \\ 2\left( k+1\right) \pi \end{cases}\\
k=\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots}\)


Kombinujemy dalej:

\(\displaystyle{ \sin\left( 2x\right)<0 \ \Rightarrow \ 2x \in \left( \left( 2k+ 1\right) \pi , 2\left( k+1\right) \pi\right) \ \Rightarrow \ x \in \left( \left( k+ \frac{1}{2}\right) \pi , \left( k+1\right) \pi\right)\\
k=\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots}\)
Fisher90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 324
Rejestracja: 13 lut 2010, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 151 razy

Rozwiąż nierówność

Post autor: Fisher90 »

Dziękuję za rozpisanie tego. Teraz spróbuję to ogarnąć.
ODPOWIEDZ