Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kuba_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 1 maja 2013, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 123
Podziękował: 6 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: kuba_ »

W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{ \mathbb{R} }}\)złożonej ze wszystkich funkcji \(\displaystyle{ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\)definiujemy podprzestrzenie \(\displaystyle{ P=\left\{ \phi \in \mathbb{R}^{ \mathbb{R} } : \forall x \in (- \infty , 0] \phi (x) = 0\right\}}\) i \(\displaystyle{ Q=left{ psi in mathbb{R}^{ mathbb{R} }: forall x in [0, infty ) psi (x) = 0
ight}}\)


A. Czy \(\displaystyle{ P+Q = \mathbb{R}^{ \mathbb{R}}\)?
B. Czy \(\displaystyle{ P \cap Q = {0}}\)?
C. Czy \(\displaystyle{ P \oplus Q = \mathbb{R}^{ \mathbb{R}}\)?

Wydaje mi się, że w podpunkcie B będzie odpowiedź pozytywna, bo częścią wspólną tych podprzestrzeni jest funkcja stale równa 0, a więc el neutralny naszej przestrzeni. W podpunkcie A również obstawiałbym prawdę, a wtedy podpunkt C wynika z podpunktów A i B, ale nie jestem pewny swojego rozumowania. Czy ktoś mógłby chociaż zweryfikować moje odpowiedzi?
Ostatnio zmieniony 15 cze 2013, o 22:30 przez kuba_, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: Spektralny »

Odpowiedź na każde z pytań jest pozytywna.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: yorgin »

kuba_ pisze:\(\displaystyle{ P=\left\{ \phi \in \mathbb{R}^{ \mathbb{R} } : \forall x \in \red (- \infty , 0]\black \phi (x) = 0\right\}}\) i \(\displaystyle{ Q=\left\{ \psi \in \mathbb{R}^{ \mathbb{R} }: \forall x \in \red (- \infty , 0] \black \psi (x) = 0\right\}}\)
Dobrze widzę, takie same przedziały, tym samym takie same zbiory, czy to jest literówka?
kuba_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 1 maja 2013, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 123
Podziękował: 6 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: kuba_ »

w drugim przypadku powinien być przedział \(\displaystyle{ [0, infty )}\), już poprawiłem.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: yorgin »

W takim przypadku dopiero teraz można napisać 3x Tak.
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: Gogeta »

Powinno byc:
a) nie
b) nie
c) tak
d) nie
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: yorgin »

Gogeta, po pierwsze, jeśli C to i A oraz B. Po drugie, w tym zadaniu nie ma D.
Awatar użytkownika
Gogeta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 18 sie 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 3 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: Gogeta »

zle spisalem odpowiedzi bo to zadanie z egzaminu
Po poprawieniu:
a) nie
b) tak
c) nie
Takie rozwiazanie bylo podane w rozwiazaniach do egzaminu.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Suma prosta podprzestrzeni złożonych z funkcji

Post autor: yorgin »

Brawo. Potrafisz uzasadnić te odpowiedzi? Ja tak, gdyż dostrzegłem subtelność, na która umknęła trzem osobom w tym temacie
ODPOWIEDZ