Sprawdzić ile punktów stałych może mieć odwzorowanie. Zbadać ich charakter dla wybranych parametrów.
Odwzorowanie:
\(\displaystyle{ T(x,y)=(cx-x^{3}-y,x)}\)
Moje rowziązanie:
1). Rozwiązuje \(\displaystyle{ T(x,y)=(x,y)
cx-x^{3}-y=x \wedge x=y \\}\)
wstawiając x=y do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ x(x^{2}-c+2)=0 \\}\)
2). Obliczam pierwiastki:
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x= \sqrt{c-2} \wedge x=- \sqrt{c-2} \\}\)
Zatem punkty stałe to:\(\displaystyle{ p1=(0,0), p2=( \sqrt{c-2}, \sqrt{c-2}), p3=(- \sqrt{c-2}, - \sqrt{c-2}) \\}\)
3). Macierz pochonych cząstkowych:
\(\displaystyle{ DT(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}c-3x^{2}&-1\\1&0\end{array}\right]\\}\)
4). Wyznacznik w punkcie (x,y):
\(\displaystyle{ detDT(x,y)=1\\}\)
5). Ślad macierzy:
\(\displaystyle{ tr(DT(x,y))=c-3x^{3}\\}\)
6). Ślad macierzy dla punktów stałych:
\(\displaystyle{ tr(DT(0,0))=c \\
tr(DT( \sqrt{c-2}, \sqrt{c-2}))=-2c+6 \\
tr(DT(- \sqrt{c-2},- \sqrt{c-2}))=-2c+6\\}\)
7). Sprawdzam charakter punktów stałych:
\(\displaystyle{ A=DT(p) \\}\)
*p jest ściekiem wtw\(\displaystyle{ |trA|<|1+detA| i |detA|<1 \\}\)
*p jest źródłem wtw\(\displaystyle{ |trA|<|1+detA| i |detA|>1 \\}\)
*p jest siodłem wtw \(\displaystyle{ |trA|>|1+detA| \\}\)
Mam ze \(\displaystyle{ det(DT(x,y))=1}\) dlatego punkt stałe nie bedą ściekiem ani źródłem bo wychodzi spraczność. Rozbijam na przypadki dla c (dla siodła):
I. dla punktu p1:
\(\displaystyle{ |c|>2 \\
c>2 \wedge c<-2}\)
II. dla punktu p2 i p3 (bo warość śladów macierzy dla tych punktów jest równa):
\(\displaystyle{ |-2c+6|>1 \\
c< \frac{5}{2} \wedge c> \frac{7}{2} \\}\)
Zatem mamy 3 punkty stałe, które są siodłami. Czy to rozumowanie jest poprawne?
Można rozbić to na inne przypadki, tak aby punkty były źródłem lub ściekiem na innych parametrów?