Przekształcenia liniowe, przestrzenie euklidesowe

[misia12345]

Prosiłabym o sprawdzenie zadań.

1. Sprawdzić, że przekształcenie \(\displaystyle{ L: R_{2}[x]\to R_{2}[x]}\) dane wzorem \(\displaystyle{ (Lq)(x)=2q^{,,}(x)+(x)+xq(0) dla q\in R_{2} [x]}\) jest liniowa i znaleźć jego macierz w bazie kanonicznej

\(\displaystyle{ L(\alpha_{1}q_{1} + \alpha_{2}q_{2} )(x)=(\alpha_{1}L(q_{1} )+ \alpha_{2} L(q_{2} )(x)

L(\alpha_{1}q_{1} + \alpha_{2}q_{2} )(x)=(\alpha_{1}q_{1} +\alpha_{2}q_{2})^{,,}(x)+x(\alpha_{1}q_{1}+\alpha_{2}q_{2})(0)=\alpha_{1}(q_{1}^{,,}(x)+\alpha_{2}q_{2}^{,,}(x)+x\alpha_{1}q_{1}(0)+x\alpha_{2}q_{2}(0)=\alpha_{1}(q_1^{,,}(x)+xq_{1}(0))+\alpha_{2}
(q_{2}^{,,}(x)+xq_{2}(0)=\alpha_{1}L(q_{1})(x)+\alpha_{2}L(q_{2})(x)=(\alpha_{1}L(q_{1})+\alpha_{2}L(q_{2}))(x)}\)

\(\displaystyle{ L(1)=x, L(x)=0, L(x^2)=4}\)

\(\displaystyle{ A_{L}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&4\\1&0&0\end{bmatrix}}\)

2. Obliczyć kąt jaki tworzą wektory \(\displaystyle{ u=(1,0), v=(3,2)}\) w prezstrzeni \(\displaystyle{ R^{2}}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ (u,v)=3x_{1}x_{2}-2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}+4y_{1}y_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ u=(x_{1}.y_{1}), v=(x_{2},y_{2})}\)

\(\displaystyle{ u*v=(u,v)=3*1*3-2*1*2=9-4=5}\)
\(\displaystyle{ ||u||=1}\)
\(\displaystyle{ ||v||=\sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ cos=\frac{5}{\sqrt{13}}}\)

coś źle chyba liczę bo nie może być cosinus takiej wartości ;/ proszę o pomoc