Twierdzenie Kroneckera - Capelliego

[Innominate]

Witam, mam niesamowity problem z rozwiązaniem pewnego zadania ( które niestety muszę przerobić )


,,Używając twierdzenie Kroneckera - Capelliego roztrzygnij, w zależności od wartości rzeczywistego parametru a, czy układ ma rozwiązania, a jeśli tak, to od ilu parametrów zależa te rozwiązania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x + y + 2z = a \\
6ax + y + 4z = 4 \\
6x + ay + 4z = 4a \end{cases}}\)

Utknąłem na momencie liczenia macierzy i macierzy dopełnionej... czy znalazłaby się dobra dusza która rozwiązałaby to zadanie / ewentualnie powiedziała krok po kroku co trzeba zrobić?

[Patryk Iwanek]

Twierdzenie Kroneckera - Capellego mówi nam o tym, że układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnione. Jeśli ten warunek jest spełniony, można rozwiązywać zadanie dalej.
Jak dobrze widzisz, w układzie masz 3 niewiadome i parametr "a". Pierwsze co robisz, to liczysz rząd macierzy głównej. Wyjdzie zależny od parametru "a". Na tym etapie musisz określić 'rozwiązania' dla tego rzędu w zależności od parametru a, czyli jaki będzie rząd jeśli "a" będzie jakieś.(myślę, że jak jesteś na tym etapie to potrafisz to zrobić, tutaj będą jakieś proste zależności).
Następnie liczysz rząd macierzy uzupełnionej i postępujesz analogicznie. Wydaję mi się, że najtrudniejszym krokiem jest zebranie obu warunków które otrzymasz w jeden. Na tym etapie już będziesz wiedział dla jakich wartości parametru "a" układ ma rozwiązanie(przypominam, że ma wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej).

Jak już określisz rząd macierzy w zależności od parametru a(powiedzmy będziesz miała dwa przypadki), to ostatnim krokiem jest określenie od ilu parametrów zależy rozwiązanie tego układu(już nie mówimy o parametrze "a"!), lub jego rozwiązanie. Mając policzone rzędy są dodatkowe kryteria, którymi łatwo można to sprawdzić.

r - rząd macierzy głównej, s - rząd macierzy uzupełnionej, n - liczba niewiadomych w równaniu
\(\displaystyle{ r = s}\) - jak ustaliliśmy - jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ r = s < n}\) - w takim przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(\displaystyle{ n - s}\) parametrów -> ten warunek interesuje Ciebie.
\(\displaystyle{ r \neq s}\) - układ jest sprzeczny, brak rozwiązań.

[Jo-anna]

Mamy układ 3 równań (n) z 3 niewiadomymi (k), czyli miło by było gdyby te macierze były tego samego rzędu (r), a konkretnie rzędu równego 3, bo wtedy obejdzie się bez parametrów (t). Tak na oko, to widać, ze dla \(\displaystyle{ a=1}\), układ ten będzie miał 1 parametr lub może brak rozwiązań...
1) układ bez t
bierzemy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&2\\6a&1&4\\6&a&4\end{bmatrix}}\) i wyliczamy wyznacznik, mi wyszło: \(\displaystyle{ 12a^{2}-36a+24}\). Teraz biorę macierz dopełnienia i liczę wyznacznik jej 'podmacierzy' \(\displaystyle{ 3x3}\), ja wzięłam tą: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&a\\1&4&4\\a&4&4a\end{bmatrix}}\) i obliczyłam jej wyznacznik: \(\displaystyle{ -4a^{2}+20a-16}\). Obliczam teraz te dwa równania kwadratowe, które \(\displaystyle{ \neq 0}\). Wyszło mi: \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \{-2,1,2,7\}}\).

2) układ z jednym t
Potrzebujemy, żeby rzędy macierzy były równe 2. Bo pamiętam taki wzór \(\displaystyle{ k-r(A)=t}\). Wybieram macierz \(\displaystyle{ 2x2}\) A i U. A:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1\\6a&1\end{bmatrix}}\) i wyznacznik to:\(\displaystyle{ 3-6a \neq 0}\), U:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&a\\4&4\end{bmatrix}}\) i wyznacznik... I wychodzi, że\(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \left\{ \frac{1}{2}, 2\right\} }\).

3) układ z 2t
wyłapujemy wyrazy macierzy z "a" i tak: a, 6a, 4a nie mogą się równać 0.

Wydaje mi się, ze jakoś tak powinno wyglądać to zadanie.