Liniowa zależność układów funkcji

[Miix]

Witam,

Jak się sprawdza liniową zależność układów funkcji? Chodzi mi o sam schemat postępowania. Wiem, że każda z funkcji ma być kombinacją liniową pozostałych, ale nie bardzo wiem jak to sprawdzić.

Podaję przykładowy układ:

\(\displaystyle{ f(x)=1, g(x)=x, h(x)=4x, i(x)=x ^{2}}\)

Z góry dzięki za pomoc.

[robertm19]

Weźmy f,g,i. Z funkcja h nie będą niezależne.
Pokazuje się że:
\(\displaystyle{ \alpha f(x)+\beta g(x)+\gamma i(x)=0}\) dla każdego x, wynika \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha =0}\) uzyskamy biorąc \(\displaystyle{ x=0}\)
Pozostaje
\(\displaystyle{ \beta x+\gamma x^2=0}\)
Weźmy teraz x=1 i x=-1
Otrzymamy
\(\displaystyle{ \beta +\gamma=0}\)
\(\displaystyle{ -\beta+\gamma=0}\)
Rozwiązując układ uzyskamy tezę.

[Miix]

Ale skoro z funkcją h nie będą liniowo niezależne. Czyli cały układ jest liniowo zależny? Dlaczego możemy od tak wykreślić z dalszych rozważań jedną funkcję?

[omicron]

To zależy co chcesz osiągnąć. Jeśli masz pokazać liniową zależność, to niczego nie wykreślasz lecz stwierdzasz, że są zależne i koniec. Jeśli natomiast potrzebujesz zbiór funkcji liniowo niezależnych, to możesz jedną funkcję odrzucić z tego powodu, iż z definicji liniowej niezależności(zależności) można ją uzyskać poprzez kombinację liniową pozostałych.